Kalkulus Contoh

$y = \ln (3 x + 1) \cos (2 x + 4)$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (3 x + 1) \cos (2 x + 4))$

Langkah 2

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = \ln (3 x + 1)$ dan $g (x) = \cos (2 x + 4)$ .

$\ln (3 x + 1) \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 4)] + \cos (2 x + 4) \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 1)]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = 2 x + 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $2 x + 4$ .

$\ln (3 x + 1) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x + 4]) + \cos (2 x + 4) \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 1)]$

Langkah 3.2.2

Turunan dari $\cos (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $- \sin (u_{1})$ .

$\ln (3 x + 1) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x + 4]) + \cos (2 x + 4) \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 1)]$

Langkah 3.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 x + 4$ .

$\ln (3 x + 1) (- \sin (2 x + 4) \frac{d}{d x} [2 x + 4]) + \cos (2 x + 4) \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 1)]$

Langkah 3.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x + 4$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\ln (3 x + 1) (- \sin (2 x + 4) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4])) + \cos (2 x + 4) \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 1)]$

Langkah 3.3.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\ln (3 x + 1) (- \sin (2 x + 4) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])) + \cos (2 x + 4) \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 1)]$

Langkah 3.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\ln (3 x + 1) (- \sin (2 x + 4) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])) + \cos (2 x + 4) \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 1)]$

Langkah 3.3.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\ln (3 x + 1) (- \sin (2 x + 4) (2 + \frac{d}{d x} [4])) + \cos (2 x + 4) \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 1)]$

Langkah 3.3.5

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\ln (3 x + 1) (- \sin (2 x + 4) (2 + 0)) + \cos (2 x + 4) \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 1)]$

Langkah 3.3.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.6.1

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$\ln (3 x + 1) (- \sin (2 x + 4) \cdot 2) + \cos (2 x + 4) \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 1)]$

Langkah 3.3.6.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\ln (3 x + 1) (- 2 \sin (2 x + 4)) + \cos (2 x + 4) \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 1)]$

Langkah 3.4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = 3 x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $3 x + 1$ .

$\ln (3 x + 1) (- 2 \sin (2 x + 4)) + \cos (2 x + 4) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x + 1])$

Langkah 3.4.2

Turunan dari $\ln (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\ln (3 x + 1) (- 2 \sin (2 x + 4)) + \cos (2 x + 4) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 1])$

Langkah 3.4.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $3 x + 1$ .

$\ln (3 x + 1) (- 2 \sin (2 x + 4)) + \cos (2 x + 4) (\frac{1}{3 x + 1} \frac{d}{d x} [3 x + 1])$

Langkah 3.5

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Gabungkan $\frac{1}{3 x + 1}$ dan $\cos (2 x + 4)$ .

$\ln (3 x + 1) (- 2 \sin (2 x + 4)) + \frac{\cos (2 x + 4)}{3 x + 1} \frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Langkah 3.5.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\ln (3 x + 1) (- 2 \sin (2 x + 4)) + \frac{\cos (2 x + 4)}{3 x + 1} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 3.5.3

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\ln (3 x + 1) (- 2 \sin (2 x + 4)) + \frac{\cos (2 x + 4)}{3 x + 1} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 3.5.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\ln (3 x + 1) (- 2 \sin (2 x + 4)) + \frac{\cos (2 x + 4)}{3 x + 1} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 3.5.5

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\ln (3 x + 1) (- 2 \sin (2 x + 4)) + \frac{\cos (2 x + 4)}{3 x + 1} (3 + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 3.5.6

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\ln (3 x + 1) (- 2 \sin (2 x + 4)) + \frac{\cos (2 x + 4)}{3 x + 1} (3 + 0)$

Langkah 3.5.7

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.7.1

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$\ln (3 x + 1) (- 2 \sin (2 x + 4)) + \frac{\cos (2 x + 4)}{3 x + 1} \cdot 3$

Langkah 3.5.7.2

Gabungkan $\frac{\cos (2 x + 4)}{3 x + 1}$ dan $3$ .

$\ln (3 x + 1) (- 2 \sin (2 x + 4)) + \frac{\cos (2 x + 4) \cdot 3}{3 x + 1}$

Langkah 3.5.7.3

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $\cos (2 x + 4)$ .

$\ln (3 x + 1) (- 2 \sin (2 x + 4)) + \frac{3 \cdot \cos (2 x + 4)}{3 x + 1}$

Langkah 3.6

Untuk menuliskan $\ln (3 x + 1) (- 2 \sin (2 x + 4))$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3 x + 1}{3 x + 1}$ .

$\frac{\ln (3 x + 1) (- 2 \sin (2 x + 4)) (3 x + 1)}{3 x + 1} + \frac{3 \cos (2 x + 4)}{3 x + 1}$

Langkah 3.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\ln (3 x + 1) (- 2 \sin (2 x + 4)) (3 x + 1) + 3 \cos (2 x + 4)}{3 x + 1}$

Langkah 3.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{- 2 \ln (3 x + 1) \sin (2 x + 4) (3 x + 1) + 3 \cos (2 x + 4)}{3 x + 1}$

Langkah 3.8.1.1.2

Sederhanakan $- 2 \ln (3 x + 1)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\frac{- \ln ({(3 x + 1)}^{2}) \sin (2 x + 4) (3 x + 1) + 3 \cos (2 x + 4)}{3 x + 1}$

Langkah 3.8.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{- \ln ({(3 x + 1)}^{2}) \sin (2 x + 4) (3 x) - \ln ({(3 x + 1)}^{2}) \sin (2 x + 4) \cdot 1 + 3 \cos (2 x + 4)}{3 x + 1}$

Langkah 3.8.1.1.4

Kalikan $- \ln ({(3 x + 1)}^{2}) \sin (2 x + 4) (3 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1.1.4.1

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\frac{- 3 \ln ({(3 x + 1)}^{2}) \sin (2 x + 4) x - \ln ({(3 x + 1)}^{2}) \sin (2 x + 4) \cdot 1 + 3 \cos (2 x + 4)}{3 x + 1}$

Langkah 3.8.1.1.4.2

Sederhanakan $- 3 \ln ({(3 x + 1)}^{2})$ dengan memindahkan $3$ ke dalam logaritma.

$\frac{- \ln ({({(3 x + 1)}^{2})}^{3}) \sin (2 x + 4) x - \ln ({(3 x + 1)}^{2}) \sin (2 x + 4) \cdot 1 + 3 \cos (2 x + 4)}{3 x + 1}$

Langkah 3.8.1.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{- \ln ({({(3 x + 1)}^{2})}^{3}) \sin (2 x + 4) x - \ln ({(3 x + 1)}^{2}) \sin (2 x + 4) + 3 \cos (2 x + 4)}{3 x + 1}$

Langkah 3.8.1.1.6

Kalikan eksponen dalam ${({(3 x + 1)}^{2})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1.1.6.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- \ln ({(3 x + 1)}^{2 \cdot 3}) \sin (2 x + 4) x - \ln ({(3 x + 1)}^{2}) \sin (2 x + 4) + 3 \cos (2 x + 4)}{3 x + 1}$

Langkah 3.8.1.1.6.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{- \ln ({(3 x + 1)}^{6}) \sin (2 x + 4) x - \ln ({(3 x + 1)}^{2}) \sin (2 x + 4) + 3 \cos (2 x + 4)}{3 x + 1}$

Langkah 3.8.1.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $- \ln ({(3 x + 1)}^{6}) \sin (2 x + 4) x - \ln ({(3 x + 1)}^{2}) \sin (2 x + 4) + 3 \cos (2 x + 4)$ .

$\frac{- x \ln ({(3 x + 1)}^{6}) \sin (2 x + 4) - \ln ({(3 x + 1)}^{2}) \sin (2 x + 4) + 3 \cos (2 x + 4)}{3 x + 1}$

Langkah 3.8.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{- x \sin (2 x + 4) \ln ({(3 x + 1)}^{6}) - \sin (2 x + 4) \ln ({(3 x + 1)}^{2}) + 3 \cos (2 x + 4)}{3 x + 1}$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = \frac{- x \sin (2 x + 4) \ln ({(3 x + 1)}^{6}) - \sin (2 x + 4) \ln ({(3 x + 1)}^{2}) + 3 \cos (2 x + 4)}{3 x + 1}$

Langkah 5

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x \sin (2 x + 4) \ln ({(3 x + 1)}^{6}) - \sin (2 x + 4) \ln ({(3 x + 1)}^{2}) + 3 \cos (2 x + 4)}{3 x + 1}$