Kalkulus Contoh

$y = \frac{x \sin (x)}{5 + \cos (x)}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x \sin (x)}{5 + \cos (x)})$

Langkah 2

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x \sin (x)$ dan $g (x) = 5 + \cos (x)$ .

$\frac{(5 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [x \sin (x)] - x \sin (x) \frac{d}{d x} [5 + \cos (x)]}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = \sin (x)$ .

$\frac{(5 + \cos (x)) (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [5 + \cos (x)]}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 3.3

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$\frac{(5 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [5 + \cos (x)]}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 3.4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(5 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [5 + \cos (x)]}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 3.4.2

Kalikan $\sin (x)$ dengan $1$ .

$\frac{(5 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [5 + \cos (x)]}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 3.4.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $5 + \cos (x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(5 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 3.4.4

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{(5 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 3.4.5

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(5 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 3.5

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$\frac{(5 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (- \sin (x))}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 3.6

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{(5 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + 1 x \sin (x) \sin (x)}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 3.6.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{(5 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin (x) \sin (x)}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 3.7

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{(5 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x (\sin^{1} (x) \sin (x))}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 3.8

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{(5 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 3.9

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{(5 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x {\sin (x)}^{1 + 1}}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 3.10

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{(5 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x)}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 3.11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.1.1.1

Perluas $(5 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x))$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.1.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{5 (x \cos (x) + \sin (x)) + \cos (x) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x)}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 3.11.1.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{5 (x \cos (x)) + 5 \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x)}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 3.11.1.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{5 (x \cos (x)) + 5 \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 3.11.1.1.2

Kalikan $\cos (x) (x \cos (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.1.1.2.1

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{5 x \cos (x) + 5 \sin (x) + x (\cos^{1} (x) \cos (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 3.11.1.1.2.2

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{5 x \cos (x) + 5 \sin (x) + x (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 3.11.1.1.2.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{5 x \cos (x) + 5 \sin (x) + x {\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 3.11.1.1.2.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{5 x \cos (x) + 5 \sin (x) + x \cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 3.11.1.2

Pindahkan $x \sin^{2} (x)$ .

$\frac{5 x \cos (x) + 5 \sin (x) + x \cos^{2} (x) + x \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x)}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 3.11.1.3

Faktorkan $x$ dari $x \cos^{2} (x)$ .

$\frac{5 x \cos (x) + 5 \sin (x) + x (\cos^{2} (x)) + x \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x)}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 3.11.1.4

Faktorkan $x$ dari $x \sin^{2} (x)$ .

$\frac{5 x \cos (x) + 5 \sin (x) + x (\cos^{2} (x)) + x (\sin^{2} (x)) + \cos (x) \sin (x)}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 3.11.1.5

Faktorkan $x$ dari $x (\cos^{2} (x)) + x (\sin^{2} (x))$ .

$\frac{5 x \cos (x) + 5 \sin (x) + x (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) + \cos (x) \sin (x)}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 3.11.1.6

Susun kembali suku-suku.

$\frac{5 x \cos (x) + 5 \sin (x) + x (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + \cos (x) \sin (x)}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 3.11.1.7

Terapkan identitas pythagoras.

$\frac{5 x \cos (x) + 5 \sin (x) + x \cdot 1 + \cos (x) \sin (x)}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 3.11.1.8

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{5 x \cos (x) + 5 \sin (x) + x + \cos (x) \sin (x)}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 3.11.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{5 x \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + x + 5 \sin (x)}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = \frac{5 x \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + x + 5 \sin (x)}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 5

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + x + 5 \sin (x)}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$