Kalkulus Contoh

$y^{3} x + x + 2 y = 8$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y^{3} x + x + 2 y) = \frac{d}{d x} (8)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{3} x + x + 2 y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [y^{3} x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3} x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y^{3} x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = y^{3}$ dan $g (x) = x$ .

$y^{3} \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$y^{3} \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Langkah 2.2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$y^{3} \cdot 1 + x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Langkah 2.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$y^{3} \cdot 1 + x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Langkah 2.2.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$y^{3} \cdot 1 + x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Langkah 2.2.4

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$y^{3} \cdot 1 + x (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Langkah 2.2.5

Kalikan $y^{3}$ dengan $1$ .

$y^{3} + x (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Langkah 2.2.6

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x$ .

$y^{3} + 3 x y^{2} y' + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$y^{3} + 3 x y^{2} y' + 1 + \frac{d}{d x} [2 y]$

Langkah 2.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 y$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$y^{3} + 3 x y^{2} y' + 1 + 2 \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.4.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$y^{3} + 3 x y^{2} y' + 1 + 2 y'$

Langkah 2.5

Susun kembali suku-suku.

$y^{3} + 3 y^{2} x y' + 2 y' + 1$

Langkah 3

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y^{3} + 3 y^{2} x y' + 2 y' + 1 = 0$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Kurangkan $y^{3}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 y^{2} x y' + 2 y' + 1 = - y^{3}$

Langkah 5.1.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 y^{2} x y' + 2 y' = - y^{3} - 1$

Langkah 5.2

Faktorkan $y'$ dari $3 y^{2} x y' + 2 y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $y'$ dari $3 y^{2} x y'$ .

$y' (3 y^{2} x) + 2 y' = - y^{3} - 1$

Langkah 5.2.2

Faktorkan $y'$ dari $2 y'$ .

$y' (3 y^{2} x) + y' \cdot 2 = - y^{3} - 1$

Langkah 5.2.3

Faktorkan $y'$ dari $y' (3 y^{2} x) + y' \cdot 2$ .

$y' (3 y^{2} x + 2) = - y^{3} - 1$

Langkah 5.3

Bagi setiap suku pada $y' (3 y^{2} x + 2) = - y^{3} - 1$ dengan $3 y^{2} x + 2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Bagilah setiap suku di $y' (3 y^{2} x + 2) = - y^{3} - 1$ dengan $3 y^{2} x + 2$ .

$\frac{y' (3 y^{2} x + 2)}{3 y^{2} x + 2} = \frac{- y^{3}}{3 y^{2} x + 2} + \frac{- 1}{3 y^{2} x + 2}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3 y^{2} x + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (3 y^{2} x + 2)}{3 y^{2} x + 2} = \frac{- y^{3}}{3 y^{2} x + 2} + \frac{- 1}{3 y^{2} x + 2}$

Langkah 5.3.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- y^{3}}{3 y^{2} x + 2} + \frac{- 1}{3 y^{2} x + 2}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{- y^{3} - 1}{3 y^{2} x + 2}$

Langkah 5.3.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.1

Tulis kembali $- y^{3}$ sebagai ${(- y)}^{3}$ .

$y' = \frac{{(- y)}^{3} - 1}{3 y^{2} x + 2}$

Langkah 5.3.3.2.2

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{3}$ .

$y' = \frac{{(- y)}^{3} - 1^{3}}{3 y^{2} x + 2}$

Langkah 5.3.3.2.3

Karena kedua suku adalah pangkat tiga sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat tiga. $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ di mana $a = - y$ dan $b = 1$ .

$y' = \frac{(- y - 1) ({(- y)}^{2} - y \cdot 1 + 1^{2})}{3 y^{2} x + 2}$

Langkah 5.3.3.2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.4.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- y$ .

$y' = \frac{(- y - 1) ({(- 1)}^{2} y^{2} - y \cdot 1 + 1^{2})}{3 y^{2} x + 2}$

Langkah 5.3.3.2.4.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$y' = \frac{(- y - 1) (1 y^{2} - y \cdot 1 + 1^{2})}{3 y^{2} x + 2}$

Langkah 5.3.3.2.4.3

Kalikan $y^{2}$ dengan $1$ .

$y' = \frac{(- y - 1) (y^{2} - y \cdot 1 + 1^{2})}{3 y^{2} x + 2}$

Langkah 5.3.3.2.4.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$y' = \frac{(- y - 1) (y^{2} - y + 1^{2})}{3 y^{2} x + 2}$

Langkah 5.3.3.2.4.5

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$y' = \frac{(- y - 1) (y^{2} - y + 1)}{3 y^{2} x + 2}$

Langkah 5.3.3.3

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.1

Faktorkan $- 1$ dari $- y$ .

$y' = \frac{(- (y) - 1) (y^{2} - y + 1)}{3 y^{2} x + 2}$

Langkah 5.3.3.3.2

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{(- (y) - 1 (1)) (y^{2} - y + 1)}{3 y^{2} x + 2}$

Langkah 5.3.3.3.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (y) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{- (y + 1) (y^{2} - y + 1)}{3 y^{2} x + 2}$

Langkah 5.3.3.3.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.4.1

Tulis kembali $- (y + 1)$ sebagai $- 1 (y + 1)$ .

$y' = \frac{- 1 (y + 1) (y^{2} - y + 1)}{3 y^{2} x + 2}$

Langkah 5.3.3.3.4.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{(y + 1) (y^{2} - y + 1)}{3 y^{2} x + 2}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{(y + 1) (y^{2} - y + 1)}{3 y^{2} x + 2}$