Kalkulus Contoh

$y = \frac{3 x^{3} + 2 x^{2}}{\sqrt{x}}$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{3 x^{3} + 2 x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{3 x^{3} + 2 x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Langkah 3

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 4

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $3 x^{3} + 2 x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $3 x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (3 x) + 2 x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 4.1.2

Faktorkan $x^{2}$ dari $2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot 2}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 4.1.3

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot 2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (3 x + 2)}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 4.2

Pindahkan $x^{\frac{1}{2}}$ ke pembilang menggunakan aturan eksponen negatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (3 x + 2) x^{- \frac{1}{2}}]$

Langkah 4.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $x^{- \frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Pindahkan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}} x^{2} (3 x + 2)]$

Langkah 4.3.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2} + 2} (3 x + 2)]$

Langkah 4.3.3

Untuk menuliskan $2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} (3 x + 2)]$

Langkah 4.3.4

Gabungkan $2$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} (3 x + 2)]$

Langkah 4.3.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} (3 x + 2)]$

Langkah 4.3.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.6.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1 + 4}{2}} (3 x + 2)]$

Langkah 4.3.6.2

Tambahkan $- 1$ dan $4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} (3 x + 2)]$

Langkah 4.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ dan $g (x) = 3 x + 2$ .

$x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 2] + (3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Langkah 4.5

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x + 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$x^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Langkah 4.5.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{\frac{3}{2}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Langkah 4.5.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x^{\frac{3}{2}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Langkah 4.5.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$x^{\frac{3}{2}} (3 + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Langkah 4.5.5

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$x^{\frac{3}{2}} (3 + 0) + (3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Langkah 4.5.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.6.1

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$x^{\frac{3}{2}} \cdot 3 + (3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Langkah 4.5.6.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 \cdot x^{\frac{3}{2}} + (3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Langkah 4.5.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{3}{2}$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + (3 x + 2) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Langkah 4.6

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + (3 x + 2) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Langkah 4.7

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + (3 x + 2) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 4.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$3 x^{\frac{3}{2}} + (3 x + 2) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 4.9

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + (3 x + 2) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Langkah 4.9.2

Kurangi $2$ dengan $3$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + (3 x + 2) (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Langkah 4.10

Gabungkan $\frac{3}{2}$ dan $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + (3 x + 2) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 4.11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.11.1

Terapkan sifat distributif.

$3 x^{\frac{3}{2}} + 3 x \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 4.11.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.11.2.1

Gabungkan $3$ dan $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + x \frac{3 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + 2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 4.11.2.2

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + x \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 4.11.2.3

Gabungkan $x$ dan $\frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x (9 x^{\frac{1}{2}})}{2} + 2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 4.11.2.4

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{9 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}{2} + 2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 4.11.2.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{9 x^{1 + \frac{1}{2}}}{2} + 2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 4.11.2.6

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{9 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2} + 2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 4.11.2.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{9 x^{\frac{2 + 1}{2}}}{2} + 2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 4.11.2.8

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 4.11.2.9

Gabungkan $2$ dan $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Langkah 4.11.2.10

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 4.11.2.11

Faktorkan $2$ dari $6 x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Langkah 4.11.2.12

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.11.2.12.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)}$

Langkah 4.11.2.12.2

Batalkan faktor persekutuan.

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.11.2.12.3

Tulis kembali pernyataannya.

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{1}$

Langkah 4.11.2.12.4

Bagilah $3 x^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 x^{\frac{1}{2}}$

Langkah 4.11.2.13

Untuk menuliskan $3 x^{\frac{3}{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 x^{\frac{1}{2}}$

Langkah 4.11.2.14

Gabungkan $3 x^{\frac{3}{2}}$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 x^{\frac{1}{2}}$

Langkah 4.11.2.15

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 x^{\frac{1}{2}}$

Langkah 4.11.2.16

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{6 x^{\frac{3}{2}} + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 x^{\frac{1}{2}}$

Langkah 4.11.2.17

Tambahkan $6 x^{\frac{3}{2}}$ dan $9 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 x^{\frac{1}{2}}$

Langkah 4.11.3

Susun kembali suku-suku.

$3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Langkah 5

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2}$