Kalkulus Contoh

$y = \frac{3 + 5 x - 8 \sqrt{x}}{x}$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}}{x}$

Langkah 2

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}}{x})$

Langkah 3

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 4

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = 3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}] - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 4.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{\frac{1}{2}}]) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 4.2.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{x (0 + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{\frac{1}{2}}]) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 4.2.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{\frac{1}{2}}]) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 4.2.4

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{\frac{1}{2}}]) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 4.2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{x (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8 x^{\frac{1}{2}}]) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 4.2.6

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$\frac{x (5 + \frac{d}{d x} [- 8 x^{\frac{1}{2}}]) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 4.2.7

Karena $- 8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 8 x^{\frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $- 8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{x (5 - 8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 4.2.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x (5 - 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 4.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (5 - 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 4.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (5 - 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 4.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{x (5 - 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 4.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{x (5 - 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 4.6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{x (5 - 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 4.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{x (5 - 8 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 4.8

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x (5 - 8 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 4.9

Gabungkan $- 8$ dan $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x (5 + \frac{- 8 x^{- \frac{1}{2}}}{2}) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 4.10

Pindahkan $x^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x (5 + \frac{- 8}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 4.11

Faktorkan $2$ dari $- 8$ .

$\frac{x (5 + \frac{2 \cdot - 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 4.12

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.12.1

Faktorkan $2$ dari $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x (5 + \frac{2 \cdot - 4}{2 (x^{\frac{1}{2}})}) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 4.12.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x (5 + \frac{2 \cdot - 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 4.12.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x (5 + \frac{- 4}{x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 4.13

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{x (5 - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 4.14

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{x (5 - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1}{x^{2}}$

Langkah 4.15

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{x (5 - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Langkah 4.16

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.16.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x \cdot 5 + x (- \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 5 x - 8 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Langkah 4.16.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x \cdot 5 + x (- \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}) - 1 \cdot 3 - (5 x) - (- 8 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Langkah 4.16.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.16.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.16.3.1.1

Pindahkan $5$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{5 \cdot x + x (- \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}) - 1 \cdot 3 - (5 x) - (- 8 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Langkah 4.16.3.1.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{5 x - x \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 - (5 x) - (- 8 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Langkah 4.16.3.1.3

Gabungkan $\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ dan $x$ .

$\frac{5 x - \frac{4 x}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 - (5 x) - (- 8 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Langkah 4.16.3.1.4

Pindahkan $x^{\frac{1}{2}}$ ke pembilang menggunakan aturan eksponen negatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{5 x - (4 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}) - 1 \cdot 3 - (5 x) - (- 8 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Langkah 4.16.3.1.5

Kalikan $x$ dengan $x^{- \frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.16.3.1.5.1

Pindahkan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 x - (4 (x^{- \frac{1}{2}} x)) - 1 \cdot 3 - (5 x) - (- 8 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Langkah 4.16.3.1.5.2

Kalikan $x^{- \frac{1}{2}}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.16.3.1.5.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{5 x - (4 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})) - 1 \cdot 3 - (5 x) - (- 8 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Langkah 4.16.3.1.5.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{5 x - (4 x^{- \frac{1}{2} + 1}) - 1 \cdot 3 - (5 x) - (- 8 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Langkah 4.16.3.1.5.3

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{5 x - (4 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}) - 1 \cdot 3 - (5 x) - (- 8 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Langkah 4.16.3.1.5.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{5 x - (4 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}) - 1 \cdot 3 - (5 x) - (- 8 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Langkah 4.16.3.1.5.5

Tambahkan $- 1$ dan $2$ .

$\frac{5 x - (4 x^{\frac{1}{2}}) - 1 \cdot 3 - (5 x) - (- 8 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Langkah 4.16.3.1.6

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$\frac{5 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 3 - (5 x) - (- 8 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Langkah 4.16.3.1.7

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{5 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 3 - (5 x) - (- 8 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Langkah 4.16.3.1.8

Kalikan $5$ dengan $- 1$ .

$\frac{5 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 3 - 5 x - (- 8 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Langkah 4.16.3.1.9

Kalikan $- 8$ dengan $- 1$ .

$\frac{5 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 3 - 5 x + 8 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}$

Langkah 4.16.3.2

Gabungkan suku balikan dalam $5 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 3 - 5 x + 8 x^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.16.3.2.1

Kurangi $5 x$ dengan $5 x$ .

$\frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} - 3 + 0 + 8 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}$

Langkah 4.16.3.2.2

Tambahkan $- 4 x^{\frac{1}{2}} - 3$ dan $0$ .

$\frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} - 3 + 8 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}$

Langkah 4.16.3.3

Tambahkan $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ dan $8 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - 3}{x^{2}}$

Langkah 5

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = \frac{4 x^{\frac{1}{2}} - 3}{x^{2}}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x^{\frac{1}{2}} - 3}{x^{2}}$