Kalkulus Contoh

$y = \frac{2}{3} \ln (1 + 3 \cos^{2} (x))$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2}{3} \cdot \ln (1 + 3 \cos^{2} (x)))$

Langkah 2

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Karena $\frac{2}{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{2}{3} \cdot \ln (1 + 3 \cos^{2} (x))$ terhadap $x$ adalah $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\ln (1 + 3 \cos^{2} (x))]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\ln (1 + 3 \cos^{2} (x))]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = 1 + 3 \cos^{2} (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $1 + 3 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{2}{3} (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [1 + 3 \cos^{2} (x)])$

Langkah 3.2.2

Turunan dari $\ln (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [1 + 3 \cos^{2} (x)])$

Langkah 3.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $1 + 3 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{1 + 3 \cos^{2} (x)} \frac{d}{d x} [1 + 3 \cos^{2} (x)])$

Langkah 3.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Kalikan $\frac{1}{1 + 3 \cos^{2} (x)}$ dengan $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{(1 + 3 \cos^{2} (x)) \cdot 3} \frac{d}{d x} [1 + 3 \cos^{2} (x)]$

Langkah 3.3.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $1 + 3 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{2}{3 \cdot (1 + 3 \cos^{2} (x))} \frac{d}{d x} [1 + 3 \cos^{2} (x)]$

Langkah 3.3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + 3 \cos^{2} (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x)]$ .

$\frac{2}{3 (1 + 3 \cos^{2} (x))} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x)])$

Langkah 3.3.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{2}{3 (1 + 3 \cos^{2} (x))} (0 + \frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x)])$

Langkah 3.3.5

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x)]$ .

$\frac{2}{3 (1 + 3 \cos^{2} (x))} \frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x)]$

Langkah 3.3.6

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 \cos^{2} (x)$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$\frac{2}{3 (1 + 3 \cos^{2} (x))} (3 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)])$

Langkah 3.3.7

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.7.1

Gabungkan $3$ dan $\frac{2}{3 (1 + 3 \cos^{2} (x))}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1 + 3 \cos^{2} (x))} \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Langkah 3.3.7.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\frac{6}{3 (1 + 3 \cos^{2} (x))} \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Langkah 3.3.7.3

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.7.3.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1 + 3 \cos^{2} (x))} \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Langkah 3.3.7.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.7.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1 + 3 \cos^{2} (x))} \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Langkah 3.3.7.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2}{1 + 3 \cos^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Langkah 3.4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $\cos (x)$ .

$\frac{2}{1 + 3 \cos^{2} (x)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Langkah 3.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{2}{1 + 3 \cos^{2} (x)} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Langkah 3.4.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $\cos (x)$ .

$\frac{2}{1 + 3 \cos^{2} (x)} (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Langkah 3.5

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{2}{1 + 3 \cos^{2} (x)}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{1 + 3 \cos^{2} (x)} (\cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Langkah 3.5.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{4}{1 + 3 \cos^{2} (x)} (\cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Langkah 3.5.3

Gabungkan $\cos (x)$ dan $\frac{4}{1 + 3 \cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 4}{1 + 3 \cos^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Langkah 3.5.4

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $\cos (x)$ .

$\frac{4 \cdot \cos (x)}{1 + 3 \cos^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Langkah 3.6

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$\frac{4 \cos (x)}{1 + 3 \cos^{2} (x)} (- \sin (x))$

Langkah 3.7

Gabungkan $\frac{4 \cos (x)}{1 + 3 \cos^{2} (x)}$ dan $\sin (x)$ .

$- \frac{4 \cos (x) \sin (x)}{1 + 3 \cos^{2} (x)}$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = - \frac{4 \cos (x) \sin (x)}{1 + 3 \cos^{2} (x)}$

Langkah 5

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 \cos (x) \sin (x)}{1 + 3 \cos^{2} (x)}$