Kalkulus Contoh

$y = \frac{2 x^{2} - x}{x^{3} + 1}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2 x^{2} - x}{x^{3} + 1})$

Langkah 2

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = 2 x^{2} - x$ dan $g (x) = x^{3} + 1$ .

$\frac{(x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x] - (2 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x^{2} - x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (2 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (2 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]) - (2 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.4

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (4 x + \frac{d}{d x} [- x]) - (2 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (4 x - \frac{d}{d x} [x]) - (2 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (4 x - 1 \cdot 1) - (2 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.7

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (4 x - 1) - (2 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.8

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (4 x - 1) - (2 x^{2} - x) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (4 x - 1) - (2 x^{2} - x) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.10

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (4 x - 1) - (2 x^{2} - x) (3 x^{2} + 0)}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.11

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.11.1

Tambahkan $3 x^{2}$ dan $0$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (4 x - 1) - (2 x^{2} - x) (3 x^{2})}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.11.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (4 x - 1) - 3 (2 x^{2} - x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(x^{3} + 1) (4 x - 1) + (- 3 (2 x^{2}) - 3 (- x)) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.3.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(x^{3} + 1) (4 x - 1) - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.3.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.1

Perluas $(x^{3} + 1) (4 x - 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{3} (4 x - 1) + 1 (4 x - 1) - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.3.3.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{3} (4 x) + x^{3} \cdot - 1 + 1 (4 x - 1) - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.3.3.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{3} (4 x) + x^{3} \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1 - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.3.3.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.2.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{4 x^{3} x + x^{3} \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1 - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.3.3.1.2.2

Kalikan $x^{3}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.2.2.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{4 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1 - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.3.3.1.2.2.2

Kalikan $x$ dengan $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.2.2.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{4 (x^{1} x^{3}) + x^{3} \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1 - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.3.3.1.2.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{4 x^{1 + 3} + x^{3} \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1 - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.3.3.1.2.2.3

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$\frac{4 x^{4} + x^{3} \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1 - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.3.3.1.2.3

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{4} - 1 \cdot x^{3} + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1 - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.3.3.1.2.4

Tulis kembali $- 1 x^{3}$ sebagai $- x^{3}$ .

$\frac{4 x^{4} - x^{3} + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1 - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.3.3.1.2.5

Kalikan $4 x$ dengan $1$ .

$\frac{4 x^{4} - x^{3} + 4 x + 1 \cdot - 1 - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.3.3.1.2.6

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{4 x^{4} - x^{3} + 4 x - 1 - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.3.3.1.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.3.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$\frac{4 x^{4} - x^{3} + 4 x - 1 - 3 (2 (x^{2} x^{2})) - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.3.3.1.3.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{4 x^{4} - x^{3} + 4 x - 1 - 3 (2 x^{2 + 2}) - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.3.3.1.3.3

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$\frac{4 x^{4} - x^{3} + 4 x - 1 - 3 (2 x^{4}) - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.3.3.1.4

Kalikan $2$ dengan $- 3$ .

$\frac{4 x^{4} - x^{3} + 4 x - 1 - 6 x^{4} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.3.3.1.5

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.5.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$\frac{4 x^{4} - x^{3} + 4 x - 1 - 6 x^{4} - 3 (- (x^{2} x))}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.3.3.1.5.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.5.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{4 x^{4} - x^{3} + 4 x - 1 - 6 x^{4} - 3 (- (x^{2} x^{1}))}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.3.3.1.5.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{4 x^{4} - x^{3} + 4 x - 1 - 6 x^{4} - 3 (- x^{2 + 1})}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.3.3.1.5.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\frac{4 x^{4} - x^{3} + 4 x - 1 - 6 x^{4} - 3 (- x^{3})}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.3.3.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $- 3$ .

$\frac{4 x^{4} - x^{3} + 4 x - 1 - 6 x^{4} + 3 x^{3}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.3.3.2

Kurangi $6 x^{4}$ dengan $4 x^{4}$ .

$\frac{- 2 x^{4} - x^{3} + 4 x - 1 + 3 x^{3}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.3.3.3

Tambahkan $- x^{3}$ dan $3 x^{3}$ .

$\frac{- 2 x^{4} + 2 x^{3} + 4 x - 1}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.3.4

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.4.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{3}$ .

$\frac{- 2 x^{4} + 2 x^{3} + 4 x - 1}{{(x^{3} + 1^{3})}^{2}}$

Langkah 3.3.4.2

Karena kedua suku adalah pangkat tiga sempurna, faktorkan menggunakan rumus penjumlahan pangkat tiga. $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ di mana $a = x$ dan $b = 1$ .

$\frac{- 2 x^{4} + 2 x^{3} + 4 x - 1}{{((x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}))}^{2}}$

Langkah 3.3.4.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.4.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{- 2 x^{4} + 2 x^{3} + 4 x - 1}{{((x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}))}^{2}}$

Langkah 3.3.4.3.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{- 2 x^{4} + 2 x^{3} + 4 x - 1}{{((x + 1) (x^{2} - x + 1))}^{2}}$

Langkah 3.3.4.4

Terapkan kaidah hasil kali ke $(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ .

$\frac{- 2 x^{4} + 2 x^{3} + 4 x - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.3.5

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 x^{4}$ .

$\frac{- (2 x^{4}) + 2 x^{3} + 4 x - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.3.6

Faktorkan $- 1$ dari $2 x^{3}$ .

$\frac{- (2 x^{4}) - (- 2 x^{3}) + 4 x - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.3.7

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 x^{4}) - (- 2 x^{3})$ .

$\frac{- (2 x^{4} - 2 x^{3}) + 4 x - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.3.8

Faktorkan $- 1$ dari $4 x$ .

$\frac{- (2 x^{4} - 2 x^{3}) - (- 4 x) - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.3.9

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 x^{4} - 2 x^{3}) - (- 4 x)$ .

$\frac{- (2 x^{4} - 2 x^{3} - 4 x) - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.3.10

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x^{4} - 2 x^{3} - 4 x) - 1 (1)}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.3.11

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 x^{4} - 2 x^{3} - 4 x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x^{4} - 2 x^{3} - 4 x + 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.3.12

Tulis kembali $- (2 x^{4} - 2 x^{3} - 4 x + 1)$ sebagai $- 1 (2 x^{4} - 2 x^{3} - 4 x + 1)$ .

$\frac{- 1 (2 x^{4} - 2 x^{3} - 4 x + 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.3.13

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{2 x^{4} - 2 x^{3} - 4 x + 1}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = - \frac{2 x^{4} - 2 x^{3} - 4 x + 1}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Langkah 5

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x^{4} - 2 x^{3} - 4 x + 1}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$