Kalkulus Contoh

$y = \frac{\sin (x)}{9 x} + \frac{9 x}{\sin (x)}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\sin (x)}{9 x} + \frac{9 x}{\sin (x)})$

Langkah 2

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{\sin (x)}{9 x} + \frac{9 x}{\sin (x)}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{9 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{9 x}{\sin (x)}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{9 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{9 x}{\sin (x)}]$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{9 x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $\frac{1}{9}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{\sin (x)}{9 x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{x}]$ .

$\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{9 x}{\sin (x)}]$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = x$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{9 x}{\sin (x)}]$

Langkah 3.2.3

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{x \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{9 x}{\sin (x)}]$

Langkah 3.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{x \cos (x) - \sin (x) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{9 x}{\sin (x)}]$

Langkah 3.2.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{9 x}{\sin (x)}]$

Langkah 3.2.6

Kalikan $\frac{1}{9}$ dengan $\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}}$ .

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{9 x}{\sin (x)}]$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{9 x}{\sin (x)}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{9 x}{\sin (x)}$ terhadap $x$ adalah $9 \frac{d}{d x} [\frac{x}{\sin (x)}]$ .

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}} + 9 \frac{d}{d x} [\frac{x}{\sin (x)}]$

Langkah 3.3.2

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}} + 9 \frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Langkah 3.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}} + 9 \frac{\sin (x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Langkah 3.3.4

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}} + 9 \frac{\sin (x) \cdot 1 - x \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Langkah 3.3.5

Kalikan $\sin (x)$ dengan $1$ .

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}} + 9 \frac{\sin (x) - x \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Langkah 3.3.6

Gabungkan $9$ dan $\frac{\sin (x) - x \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}} + \frac{9 (\sin (x) - x \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

Langkah 3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}} + \frac{9 \sin (x) + 9 (- x \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

Langkah 3.4.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $9$ .

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}} + \frac{9 \sin (x) - 9 (x \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

Langkah 3.4.2.2

Untuk menuliskan $\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{9 \sin (x) - 9 x \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Langkah 3.4.2.3

Untuk menuliskan $\frac{9 \sin (x) - 9 x \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{9 x^{2}}{9 x^{2}}$ .

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{9 \sin (x) - 9 x \cos (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{9 x^{2}}{9 x^{2}}$

Langkah 3.4.2.4

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $9 x^{2} \sin^{2} (x)$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.4.1

Kalikan $\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}}$ dengan $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{(x \cos (x) - \sin (x)) \sin^{2} (x)}{9 x^{2} \sin^{2} (x)} + \frac{9 \sin (x) - 9 x \cos (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{9 x^{2}}{9 x^{2}}$

Langkah 3.4.2.4.2

Kalikan $\frac{9 \sin (x) - 9 x \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ dengan $\frac{9 x^{2}}{9 x^{2}}$ .

$\frac{(x \cos (x) - \sin (x)) \sin^{2} (x)}{9 x^{2} \sin^{2} (x)} + \frac{(9 \sin (x) - 9 x \cos (x)) (9 x^{2})}{\sin^{2} (x) (9 x^{2})}$

Langkah 3.4.2.4.3

Susun kembali faktor-faktor dari $\sin^{2} (x) (9 x^{2})$ .

$\frac{(x \cos (x) - \sin (x)) \sin^{2} (x)}{9 x^{2} \sin^{2} (x)} + \frac{(9 \sin (x) - 9 x \cos (x)) (9 x^{2})}{9 x^{2} \sin^{2} (x)}$

Langkah 3.4.2.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{(x \cos (x) - \sin (x)) \sin^{2} (x) + (9 \sin (x) - 9 x \cos (x)) (9 x^{2})}{9 x^{2} \sin^{2} (x)}$

Langkah 3.4.2.6

Pindahkan $9$ ke sebelah kiri $9 \sin (x) - 9 x \cos (x)$ .

$\frac{(x \cos (x) - \sin (x)) \sin^{2} (x) + 9 (9 \sin (x) - 9 x \cos (x)) x^{2}}{9 x^{2} \sin^{2} (x)}$

Langkah 3.4.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{\sin^{2} (x) (x \cos (x) - \sin (x)) + 9 x^{2} (9 \sin (x) - 9 x \cos (x))}{9 x^{2} \sin^{2} (x)}$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = \frac{\sin^{2} (x) (x \cos (x) - \sin (x)) + 9 x^{2} (9 \sin (x) - 9 x \cos (x))}{9 x^{2} \sin^{2} (x)}$

Langkah 5

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sin^{2} (x) (x \cos (x) - \sin (x)) + 9 x^{2} (9 \sin (x) - 9 x \cos (x))}{9 x^{2} \sin^{2} (x)}$