Kalkulus Contoh

$x \ln (y) + y \ln (x) = 2$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x \ln (y) + y \ln (x)) = \frac{d}{d x} (2)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x \ln (y) + y \ln (x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x \ln (y)] + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x \ln (y)] + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x \ln (y)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = \ln (y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (y)] + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$

Langkah 2.2.2.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$

Langkah 2.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$x (\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$

Langkah 2.2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$x (\frac{1}{y} y') + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$

Langkah 2.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x (\frac{1}{y} y') + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$

Langkah 2.2.5

Gabungkan $\frac{1}{y}$ dan $y'$ .

$x \frac{y'}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$

Langkah 2.2.6

Gabungkan $x$ dan $\frac{y'}{y}$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$

Langkah 2.2.7

Kalikan $\ln (y)$ dengan $1$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y \ln (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = y$ dan $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + y \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.3.2

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + y \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + y \frac{1}{x} + \ln (x) y'$

Langkah 2.3.4

Gabungkan $y$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + \frac{y}{x} + \ln (x) y'$

Langkah 2.4

Susun kembali suku-suku.

$\ln (x) y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) + \frac{y}{x}$

Langkah 3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$\ln (x) y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) + \frac{y}{x} = 0$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan setiap suku pada $\ln (x) y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) + \frac{y}{x} = 0$ dengan $y x$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Kalikan setiap suku dalam $\ln (x) y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) + \frac{y}{x} = 0$ dengan $y x$ .

$\ln (x) y' (y x) + \frac{x y'}{y} (y x) + \ln (y) (y x) + \frac{y}{x} (y x) = 0 (y x)$

Langkah 5.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1.1.1

Faktorkan $y$ dari $y x$ .

$\ln (x) y' y x + \frac{x y'}{y} (y (x)) + \ln (y) (y x) + \frac{y}{x} (y x) = 0 (y x)$

Langkah 5.1.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (x) y' y x + \frac{x y'}{y} (y x) + \ln (y) (y x) + \frac{y}{x} (y x) = 0 (y x)$

Langkah 5.1.2.1.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (x) y' y x + x y' x + \ln (y) (y x) + \frac{y}{x} (y x) = 0 (y x)$

Langkah 5.1.2.1.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\ln (x) y' y x + y' (x^{1} x) + \ln (y) (y x) + \frac{y}{x} (y x) = 0 (y x)$

Langkah 5.1.2.1.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\ln (x) y' y x + y' (x^{1} x^{1}) + \ln (y) (y x) + \frac{y}{x} (y x) = 0 (y x)$

Langkah 5.1.2.1.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\ln (x) y' y x + y' x^{1 + 1} + \ln (y) (y x) + \frac{y}{x} (y x) = 0 (y x)$

Langkah 5.1.2.1.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\ln (x) y' y x + y' x^{2} + \ln (y) (y x) + \frac{y}{x} (y x) = 0 (y x)$

Langkah 5.1.2.1.6

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1.6.1

Faktorkan $x$ dari $y x$ .

$\ln (x) y' y x + y' x^{2} + \ln (y) y x + \frac{y}{x} (x y) = 0 (y x)$

Langkah 5.1.2.1.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (x) y' y x + y' x^{2} + \ln (y) y x + \frac{y}{x} (x y) = 0 (y x)$

Langkah 5.1.2.1.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (x) y' y x + y' x^{2} + \ln (y) y x + y \cdot y = 0 (y x)$

Langkah 5.1.2.1.7

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\ln (x) y' y x + y' x^{2} + \ln (y) y x + y^{1} y = 0 (y x)$

Langkah 5.1.2.1.8

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\ln (x) y' y x + y' x^{2} + \ln (y) y x + y^{1} y^{1} = 0 (y x)$

Langkah 5.1.2.1.9

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\ln (x) y' y x + y' x^{2} + \ln (y) y x + y^{1 + 1} = 0 (y x)$

Langkah 5.1.2.1.10

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\ln (x) y' y x + y' x^{2} + \ln (y) y x + y^{2} = 0 (y x)$

Langkah 5.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1

Kalikan $0 (y x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1.1

Kalikan $y$ dengan $0$ .

$\ln (x) y' y x + y' x^{2} + \ln (y) y x + y^{2} = 0 x$

Langkah 5.1.3.1.2

Kalikan $0$ dengan $x$ .

$\ln (x) y' y x + y' x^{2} + \ln (y) y x + y^{2} = 0$

Langkah 5.2

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (x) y' y x + \ln (y) y x = - y' x^{2} - y^{2} + 0$

Langkah 5.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $\ln (x) y' y x + \ln (y) y x$ .

$y' y x \ln (x) + y x \ln (y) = - y' x^{2} - y^{2} + 0$

Langkah 5.4

Tambahkan $- y' x^{2} - y^{2}$ dan $0$ .

$y' y x \ln (x) + y x \ln (y) = - y' x^{2} - y^{2}$

Langkah 5.5

Tambahkan $y' x^{2}$ ke kedua sisi persamaan.

$y' y x \ln (x) + y x \ln (y) + y' x^{2} = - y^{2}$

Langkah 5.6

Kurangkan $y x \ln (y)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y' y x \ln (x) + y' x^{2} = - y^{2} - y x \ln (y)$

Langkah 5.7

Faktorkan $y' x$ dari $y' y x \ln (x) + y' x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.1

Faktorkan $y' x$ dari $y' y x \ln (x)$ .

$y' x (y \ln (x)) + y' x^{2} = - y^{2} - y x \ln (y)$

Langkah 5.7.2

Faktorkan $y' x$ dari $y' x^{2}$ .

$y' x (y \ln (x)) + y' x \cdot x = - y^{2} - y x \ln (y)$

Langkah 5.7.3

Faktorkan $y' x$ dari $y' x (y \ln (x)) + y' x \cdot x$ .

$y' x (y \ln (x) + x) = - y^{2} - y x \ln (y)$

Langkah 5.8

Bagi setiap suku pada $y' x (y \ln (x) + x) = - y^{2} - y x \ln (y)$ dengan $x (y \ln (x) + x)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.1

Bagilah setiap suku di $y' x (y \ln (x) + x) = - y^{2} - y x \ln (y)$ dengan $x (y \ln (x) + x)$ .

$\frac{y' x (y \ln (x) + x)}{x (y \ln (x) + x)} = \frac{- y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (y \ln (x) + x)}$

Langkah 5.8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' x (y \ln (x) + x)}{x (y \ln (x) + x)} = \frac{- y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (y \ln (x) + x)}$

Langkah 5.8.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (y \ln (x) + x)}{y \ln (x) + x} = \frac{- y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (y \ln (x) + x)}$

Langkah 5.8.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y \ln (x) + x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (y \ln (x) + x)}{y \ln (x) + x} = \frac{- y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (y \ln (x) + x)}$

Langkah 5.8.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (y \ln (x) + x)}$

Langkah 5.8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.3.1.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (y \ln (x) + x)}$

Langkah 5.8.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (y \ln (x) + x)}$

Langkah 5.8.3.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} + \frac{- y \ln (y)}{y \ln (x) + x}$

Langkah 5.8.3.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} - \frac{y \ln (y)}{y \ln (x) + x}$

Langkah 5.8.3.2

Untuk menuliskan $- \frac{y \ln (y)}{y \ln (x) + x}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} - \frac{y \ln (y)}{y \ln (x) + x} \cdot \frac{x}{x}$

Langkah 5.8.3.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $x (y \ln (x) + x)$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.3.3.1

Kalikan $\frac{y \ln (y)}{y \ln (x) + x}$ dengan $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} - \frac{y \ln (y) x}{(y \ln (x) + x) x}$

Langkah 5.8.3.3.2

Susun kembali faktor-faktor dari $(y \ln (x) + x) x$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} - \frac{y \ln (y) x}{x (y \ln (x) + x)}$

Langkah 5.8.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{- y^{2} - y \ln (y) x}{x (y \ln (x) + x)}$

Langkah 5.8.3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.3.5.1

Faktorkan $y$ dari $- y^{2} - y \ln (y) x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.3.5.1.1

Faktorkan $y$ dari $- y^{2}$ .

$y' = \frac{y (- y) - y \ln (y) x}{x (y \ln (x) + x)}$

Langkah 5.8.3.5.1.2

Faktorkan $y$ dari $- y \ln (y) x$ .

$y' = \frac{y (- y) + y (- 1 \ln (y) x)}{x (y \ln (x) + x)}$

Langkah 5.8.3.5.1.3

Faktorkan $y$ dari $y (- y) + y (- 1 \ln (y) x)$ .

$y' = \frac{y (- y - 1 \ln (y) x)}{x (y \ln (x) + x)}$

Langkah 5.8.3.5.2

Tulis kembali $- 1 \ln (y)$ sebagai $- \ln (y)$ .

$y' = \frac{y (- y - \ln (y) x)}{x (y \ln (x) + x)}$

Langkah 5.8.3.6

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.3.6.1

Faktorkan $- 1$ dari $- y$ .

$y' = \frac{y (- (y) - \ln (y) x)}{x (y \ln (x) + x)}$

Langkah 5.8.3.6.2

Faktorkan $- 1$ dari $- \ln (y) x$ .

$y' = \frac{y (- (y) - (\ln (y) x))}{x (y \ln (x) + x)}$

Langkah 5.8.3.6.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (y) - (\ln (y) x)$ .

$y' = \frac{y (- (y + \ln (y) x))}{x (y \ln (x) + x)}$

Langkah 5.8.3.6.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.3.6.4.1

Tulis kembali $- (y + \ln (y) x)$ sebagai $- 1 (y + \ln (y) x)$ .

$y' = \frac{y (- 1 (y + \ln (y) x))}{x (y \ln (x) + x)}$

Langkah 5.8.3.6.4.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{y (y + \ln (y) x)}{x (y \ln (x) + x)}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y + \ln (y) x)}{x (y \ln (x) + x)}$