Kalkulus Contoh

$y = (9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} ((9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x})$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ adalah $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ di mana $f (y) = 9 x^{2} - 18 x + 18$ dan $g (y) = e^{x}$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) \frac{d}{d y} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d y} [9 x^{2} - 18 x + 18]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = e^{y}$ dan $g (y) = x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $x$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [x]) + e^{x} \frac{d}{d y} [9 x^{2} - 18 x + 18]$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) (e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [x]) + e^{x} \frac{d}{d y} [9 x^{2} - 18 x + 18]$

Langkah 3.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) (e^{x} \frac{d}{d y} [x]) + e^{x} \frac{d}{d y} [9 x^{2} - 18 x + 18]$

Langkah 3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d y} [x]$ sebagai $x'$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} \frac{d}{d y} [9 x^{2} - 18 x + 18]$

Langkah 3.4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $9 x^{2} - 18 x + 18$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [9 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 18 x] + \frac{d}{d y} [18]$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (\frac{d}{d y} [9 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 18 x] + \frac{d}{d y} [18])$

Langkah 3.4.2

Karena $9$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $9 x^{2}$ terhadap $y$ adalah $9 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (9 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 18 x] + \frac{d}{d y} [18])$

Langkah 3.5

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = y^{2}$ dan $g (y) = x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $x$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (9 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 18 x] + \frac{d}{d y} [18])$

Langkah 3.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (9 (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 18 x] + \frac{d}{d y} [18])$

Langkah 3.5.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (9 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 18 x] + \frac{d}{d y} [18])$

Langkah 3.6

Kalikan $2$ dengan $9$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (18 (x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 18 x] + \frac{d}{d y} [18])$

Langkah 3.7

Tulis kembali $\frac{d}{d y} [x]$ sebagai $x'$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (18 x x' + \frac{d}{d y} [- 18 x] + \frac{d}{d y} [18])$

Langkah 3.8

Karena $- 18$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 18 x$ terhadap $y$ adalah $- 18 \frac{d}{d y} [x]$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (18 x x' - 18 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [18])$

Langkah 3.9

Tulis kembali $\frac{d}{d y} [x]$ sebagai $x'$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (18 x x' - 18 x' + \frac{d}{d y} [18])$

Langkah 3.10

Karena $18$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $18$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (18 x x' - 18 x' + 0)$

Langkah 3.11

Tambahkan $18 x x' - 18 x'$ dan $0$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (18 x x' - 18 x')$

Langkah 3.12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.12.1

Terapkan sifat distributif.

$(9 x^{2} e^{x} - 18 x e^{x} + 18 e^{x}) x' + e^{x} (18 x x' - 18 x')$

Langkah 3.12.2

Terapkan sifat distributif.

$9 x^{2} e^{x} x' - 18 x e^{x} x' + 18 e^{x} x' + e^{x} (18 x x' - 18 x')$

Langkah 3.12.3

Terapkan sifat distributif.

$9 x^{2} e^{x} x' - 18 x e^{x} x' + 18 e^{x} x' + e^{x} (18 x x') + e^{x} (- 18 x')$

Langkah 3.12.4

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.12.4.1

Tambahkan $- 18 x e^{x} x'$ dan $e^{x} (18 x x')$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.12.4.1.1

Pindahkan $e^{x}$ .

$9 x^{2} e^{x} x' + 18 e^{x} x' - 18 x e^{x} x' + 18 x e^{x} x' + e^{x} (- 18 x')$

Langkah 3.12.4.1.2

Tambahkan $- 18 x e^{x} x'$ dan $18 x e^{x} x'$ .

$9 x^{2} e^{x} x' + 18 e^{x} x' + 0 + e^{x} (- 18 x')$

Langkah 3.12.4.2

Tambahkan $9 x^{2} e^{x} x' + 18 e^{x} x'$ dan $0$ .

$9 x^{2} e^{x} x' + 18 e^{x} x' + e^{x} (- 18 x')$

Langkah 3.12.4.3

Tambahkan $18 e^{x} x'$ dan $e^{x} (- 18 x')$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.12.4.3.1

Susun kembali $e^{x}$ dan $- 18$ .

$9 x^{2} e^{x} x' + 18 e^{x} x' - 18 \cdot e^{x} x'$

Langkah 3.12.4.3.2

Kurangi $18 \cdot e^{x} x'$ dengan $18 e^{x} x'$ .

$9 x^{2} e^{x} x' + 0$

Langkah 3.12.4.4

Tambahkan $9 x^{2} e^{x} x'$ dan $0$ .

$9 x^{2} e^{x} x'$

Langkah 3.12.5

Susun kembali faktor-faktor dari $9 x^{2} e^{x} x'$ .

$9 e^{x} x^{2} x'$

Langkah 3.12.6

Susun kembali faktor-faktor dalam $9 e^{x} x^{2} x'$ .

$9 x^{2} e^{x} x'$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$1 = 9 x^{2} e^{x} x'$

Langkah 5

Selesaikan $x'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $9 x^{2} e^{x} x' = 1$ .

$9 x^{2} e^{x} x' = 1$

Langkah 5.2

Bagi setiap suku pada $9 x^{2} e^{x} x' = 1$ dengan $9 x^{2} e^{x}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Bagilah setiap suku di $9 x^{2} e^{x} x' = 1$ dengan $9 x^{2} e^{x}$ .

$\frac{9 x^{2} e^{x} x'}{9 x^{2} e^{x}} = \frac{1}{9 x^{2} e^{x}}$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{9 x^{2} e^{x} x'}{9 x^{2} e^{x}} = \frac{1}{9 x^{2} e^{x}}$

Langkah 5.2.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x^{2} e^{x} x'}{x^{2} e^{x}} = \frac{1}{9 x^{2} e^{x}}$

Langkah 5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{2} e^{x} x'}{x^{2} e^{x}} = \frac{1}{9 x^{2} e^{x}}$

Langkah 5.2.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{e^{x} x'}{e^{x}} = \frac{1}{9 x^{2} e^{x}}$

Langkah 5.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{x} x'}{e^{x}} = \frac{1}{9 x^{2} e^{x}}$

Langkah 5.2.2.3.2

Bagilah $x'$ dengan $1$ .

$x' = \frac{1}{9 x^{2} e^{x}}$

Langkah 6

Ganti $x'$ dengan $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{9 x^{2} e^{x}}$