Kalkulus Contoh

${(y + x)}^{2} = \ln (y)$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} ({(y + x)}^{2}) = \frac{d}{d x} (\ln (y))$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis kembali ${(y + x)}^{2}$ sebagai $(y + x) (y + x)$ .

$\frac{d}{d x} [(y + x) (y + x)]$

Langkah 2.2

Perluas $(y + x) (y + x)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [y (y + x) + x (y + x)]$

Langkah 2.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [y \cdot y + y x + x (y + x)]$

Langkah 2.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [y \cdot y + y x + x y + x \cdot x]$

Langkah 2.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} + y x + x y + x \cdot x]$

Langkah 2.3.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} + y x + x y + x^{2}]$

Langkah 2.3.2

Tambahkan $y x$ dan $x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Susun kembali $y$ dan $x$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} + x y + x y + x^{2}]$

Langkah 2.3.2.2

Tambahkan $x y$ dan $x y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} + 2 x y + x^{2}]$

Langkah 2.4

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{2} + 2 x y + x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.5

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.5.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.6

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.7

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x y$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 y y' + 2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y$ .

$2 y y' + 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.9

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 y y' + 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.10

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 y y' + 2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.11

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$2 y y' + 2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.12

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 y y' + 2 (x y' + y) + 2 x$

Langkah 2.13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.13.1

Terapkan sifat distributif.

$2 y y' + 2 (x y') + 2 y + 2 x$

Langkah 2.13.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$2 y y' + 2 x y' + 2 y + 2 x$

Langkah 2.13.3

Susun kembali suku-suku.

$2 y y' + 2 x y' + 2 x + 2 y$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.1.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{1}{y} y'$

Langkah 3.3

Gabungkan $\frac{1}{y}$ dan $y'$ .

$\frac{y'}{y}$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$2 y y' + 2 x y' + 2 x + 2 y = \frac{y'}{y}$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan kedua ruas dengan $y$ .

$(2 y y' + 2 x y' + 2 x + 2 y) y = \frac{y'}{y} y$

Langkah 5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Sederhanakan $(2 y y' + 2 x y' + 2 x + 2 y) y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$2 y y' y + 2 x y' y + 2 x y + 2 y \cdot y = \frac{y'}{y} y$

Langkah 5.2.1.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.2.1

Kalikan $y$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.2.1.1

Pindahkan $y$ .

$2 (y \cdot y) y' + 2 x y' y + 2 x y + 2 y \cdot y = \frac{y'}{y} y$

Langkah 5.2.1.1.2.1.2

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$2 y^{2} y' + 2 x y' y + 2 x y + 2 y \cdot y = \frac{y'}{y} y$

Langkah 5.2.1.1.2.2

Kalikan $y$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.2.2.1

Pindahkan $y$ .

$2 y^{2} y' + 2 x y' y + 2 x y + 2 (y \cdot y) = \frac{y'}{y} y$

Langkah 5.2.1.1.2.2.2

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$2 y^{2} y' + 2 x y' y + 2 x y + 2 y^{2} = \frac{y'}{y} y$

Langkah 5.2.1.1.3

Pindahkan $y^{2}$ .

$2 y' y^{2} + 2 x y' y + 2 x y + 2 y^{2} = \frac{y'}{y} y$

Langkah 5.2.1.1.4

Pindahkan $x$ .

$2 y' y^{2} + 2 y' x y + 2 x y + 2 y^{2} = \frac{y'}{y} y$

Langkah 5.2.1.1.5

Susun kembali $2 y' y^{2}$ dan $2 y' x y$ .

$2 y' x y + 2 y' y^{2} + 2 x y + 2 y^{2} = \frac{y'}{y} y$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 y' x y + 2 y' y^{2} + 2 x y + 2 y^{2} = \frac{y'}{y} y$

Langkah 5.2.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$2 y' x y + 2 y' y^{2} + 2 x y + 2 y^{2} = y'$

Langkah 5.3

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Kurangkan $y'$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 y' x y + 2 y' y^{2} + 2 x y + 2 y^{2} - y' = 0$

Langkah 5.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Kurangkan $2 x y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 y' x y + 2 y' y^{2} + 2 y^{2} - y' = - 2 x y$

Langkah 5.3.2.2

Kurangkan $2 y^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 y' x y + 2 y' y^{2} - y' = - 2 x y - 2 y^{2}$

Langkah 5.3.3

Faktorkan $y'$ dari $2 y' x y + 2 y' y^{2} - y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Faktorkan $y'$ dari $2 y' x y$ .

$y' (2 x y) + 2 y' y^{2} - y' = - 2 x y - 2 y^{2}$

Langkah 5.3.3.2

Faktorkan $y'$ dari $2 y' y^{2}$ .

$y' (2 x y) + y' (2 y^{2}) - y' = - 2 x y - 2 y^{2}$

Langkah 5.3.3.3

Faktorkan $y'$ dari $- y'$ .

$y' (2 x y) + y' (2 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - 2 x y - 2 y^{2}$

Langkah 5.3.3.4

Faktorkan $y'$ dari $y' (2 x y) + y' (2 y^{2})$ .

$y' (2 x y + 2 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - 2 x y - 2 y^{2}$

Langkah 5.3.3.5

Faktorkan $y'$ dari $y' (2 x y + 2 y^{2}) + y' \cdot - 1$ .

$y' (2 x y + 2 y^{2} - 1) = - 2 x y - 2 y^{2}$

Langkah 5.3.4

Bagi setiap suku pada $y' (2 x y + 2 y^{2} - 1) = - 2 x y - 2 y^{2}$ dengan $2 x y + 2 y^{2} - 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Bagilah setiap suku di $y' (2 x y + 2 y^{2} - 1) = - 2 x y - 2 y^{2}$ dengan $2 x y + 2 y^{2} - 1$ .

$\frac{y' (2 x y + 2 y^{2} - 1)}{2 x y + 2 y^{2} - 1} = \frac{- 2 x y}{2 x y + 2 y^{2} - 1} + \frac{- 2 y^{2}}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

Langkah 5.3.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2 x y + 2 y^{2} - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (2 x y + 2 y^{2} - 1)}{2 x y + 2 y^{2} - 1} = \frac{- 2 x y}{2 x y + 2 y^{2} - 1} + \frac{- 2 y^{2}}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

Langkah 5.3.4.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 2 x y}{2 x y + 2 y^{2} - 1} + \frac{- 2 y^{2}}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

Langkah 5.3.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{- 2 x y - 2 y^{2}}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

Langkah 5.3.4.3.2

Faktorkan $2 y$ dari $- 2 x y - 2 y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.3.2.1

Faktorkan $2 y$ dari $- 2 x y$ .

$y' = \frac{2 y (- x) - 2 y^{2}}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

Langkah 5.3.4.3.2.2

Faktorkan $2 y$ dari $- 2 y^{2}$ .

$y' = \frac{2 y (- x) + 2 y (- y)}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

Langkah 5.3.4.3.2.3

Faktorkan $2 y$ dari $2 y (- x) + 2 y (- y)$ .

$y' = \frac{2 y (- x - y)}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

Langkah 5.3.4.3.3

Faktorkan $- 1$ dari $- x$ .

$y' = \frac{2 y (- (x) - y)}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

Langkah 5.3.4.3.4

Faktorkan $- 1$ dari $- y$ .

$y' = \frac{2 y (- (x) - (y))}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

Langkah 5.3.4.3.5

Faktorkan $- 1$ dari $- (x) - (y)$ .

$y' = \frac{2 y (- (x + y))}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

Langkah 5.3.4.3.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.3.6.1

Tulis kembali $- (x + y)$ sebagai $- 1 (x + y)$ .

$y' = \frac{2 y (- 1 (x + y))}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

Langkah 5.3.4.3.6.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{(2 y) (x + y)}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{(2 y) (x + y)}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$