Kalkulus Contoh

$\sum_{k = 1}^{3} \frac{1}{k^{2} + 4}$

Langkah 1

Perluas barisan untuk setiap nilai dari $k$ .

$\frac{1}{1^{2} + 4} + \frac{1}{2^{2} + 4} + \frac{1}{3^{2} + 4}$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menentukan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Kalikan $\frac{1}{1^{2} + 4}$ dengan $\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$ .

$\frac{1}{1^{2} + 4} \cdot \frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)} + \frac{1}{2^{2} + 4} + \frac{1}{3^{2} + 4}$

Langkah 2.1.2

Kalikan $\frac{1}{1^{2} + 4}$ dengan $\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$ .

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) ((2^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{1}{2^{2} + 4} + \frac{1}{3^{2} + 4}$

Langkah 2.1.3

Kalikan $\frac{1}{2^{2} + 4}$ dengan $\frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$ .

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) ((2^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{1}{2^{2} + 4} \cdot \frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)} + \frac{1}{3^{2} + 4}$

Langkah 2.1.4

Kalikan $\frac{1}{2^{2} + 4}$ dengan $\frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$ .

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) ((2^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(2^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{1}{3^{2} + 4}$

Langkah 2.1.5

Kalikan $\frac{1}{3^{2} + 4}$ dengan $\frac{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}$ .

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) ((2^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(2^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{1}{3^{2} + 4} \cdot \frac{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}$

Langkah 2.1.6

Kalikan $\frac{1}{3^{2} + 4}$ dengan $\frac{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}$ .

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) ((2^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(2^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(3^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (2^{2} + 4))}$

Langkah 2.1.7

Susun kembali faktor-faktor dari $(1^{2} + 4) ((2^{2} + 4) (3^{2} + 4))$ .

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)} + \frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(2^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(3^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (2^{2} + 4))}$

Langkah 2.1.8

Susun kembali faktor-faktor dari $(2^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (3^{2} + 4))$ .

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)} + \frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)} + \frac{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(3^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (2^{2} + 4))}$

Langkah 2.1.9

Susun kembali faktor-faktor dari $(3^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (2^{2} + 4))$ .

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)} + \frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)} + \frac{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Langkah 2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Langkah 2.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{(4 + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Langkah 2.3.2

Tambahkan $4$ dan $4$ .

$\frac{8 (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Langkah 2.3.3

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{8 (9 + 4) + (1^{2} + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Langkah 2.3.4

Tambahkan $9$ dan $4$ .

$\frac{8 \cdot 13 + (1^{2} + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Langkah 2.3.5

Kalikan $8$ dengan $13$ .

$\frac{104 + (1^{2} + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Langkah 2.3.6

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{104 + (1 + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Langkah 2.3.7

Tambahkan $1$ dan $4$ .

$\frac{104 + 5 (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Langkah 2.3.8

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{104 + 5 (9 + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Langkah 2.3.9

Tambahkan $9$ dan $4$ .

$\frac{104 + 5 \cdot 13 + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Langkah 2.3.10

Kalikan $5$ dengan $13$ .

$\frac{104 + 65 + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Langkah 2.3.11

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{104 + 65 + (1 + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Langkah 2.3.12

Tambahkan $1$ dan $4$ .

$\frac{104 + 65 + 5 (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Langkah 2.3.13

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{104 + 65 + 5 (4 + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Langkah 2.3.14

Tambahkan $4$ dan $4$ .

$\frac{104 + 65 + 5 \cdot 8}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Langkah 2.3.15

Kalikan $5$ dengan $8$ .

$\frac{104 + 65 + 40}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Langkah 2.4

Tambahkan $104$ dan $65$ .

$\frac{169 + 40}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Langkah 2.5

Tambahkan $169$ dan $40$ .

$\frac{209}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Langkah 2.6

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{209}{(1 + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Langkah 2.6.2

Tambahkan $1$ dan $4$ .

$\frac{209}{5 (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Langkah 2.6.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{209}{5 (4 + 4) (3^{2} + 4)}$

Langkah 2.6.4

Tambahkan $4$ dan $4$ .

$\frac{209}{5 \cdot 8 (3^{2} + 4)}$

Langkah 2.6.5

Kalikan $5$ dengan $8$ .

$\frac{209}{40 (3^{2} + 4)}$

Langkah 2.6.6

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{209}{40 (9 + 4)}$

Langkah 2.6.7

Tambahkan $9$ dan $4$ .

$\frac{209}{40 \cdot 13}$

Langkah 2.7

Kalikan $40$ dengan $13$ .

$\frac{209}{520}$

Langkah 3

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{209}{520}$

Bentuk Desimal:

$0.40192307 \dots$