Kalkulus Contoh

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 4)}^{n - 1}}{8^{n}}$

Langkah 1

Jumlah deret geometri tak hingga dapat ditentukan menggunakan rumus $\frac{a}{1 - r}$ di mana $a$ adalah suku pertama dan $r$ adalah rasio antara dua suku berturut-turut.

Langkah 2

Tentukan rasio dari dua suku berturut-turut dengan memasukkan ke dalam rumus $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Substitusikan $a_{n}$ dan $a_{n + 1}$ ke dalam rumus untuk $r$ .

$r = \frac{\frac{{(- 4)}^{n + 1 - 1}}{8^{n + 1}}}{\frac{{(- 4)}^{n - 1}}{8^{n}}}$

Langkah 2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$r = \frac{{(- 4)}^{n + 1 - 1}}{8^{n + 1}} \cdot \frac{8^{n}}{{(- 4)}^{n - 1}}$

Langkah 2.2.2

Gabungkan.

$r = \frac{{(- 4)}^{n + 1 - 1} \cdot 8^{n}}{8^{n + 1} {(- 4)}^{n - 1}}$

Langkah 2.2.3

Hapus faktor persekutuan dari ${(- 4)}^{n + 1 - 1}$ dan ${(- 4)}^{n - 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Faktorkan ${(- 4)}^{n - 1}$ dari ${(- 4)}^{n + 1 - 1} \cdot 8^{n}$ .

$r = \frac{{(- 4)}^{n - 1} ({(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n})}{8^{n + 1} {(- 4)}^{n - 1}}$

Langkah 2.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.2.1

Faktorkan ${(- 4)}^{n - 1}$ dari $8^{n + 1} {(- 4)}^{n - 1}$ .

$r = \frac{{(- 4)}^{n - 1} ({(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n})}{{(- 4)}^{n - 1} \cdot 8^{n + 1}}$

Langkah 2.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$r = \frac{{(- 4)}^{n - 1} ({(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n})}{{(- 4)}^{n - 1} \cdot 8^{n + 1}}$

Langkah 2.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$r = \frac{{(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n}}{8^{n + 1}}$

Langkah 2.2.4

Hapus faktor persekutuan dari $8^{n}$ dan $8^{n + 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Faktorkan $8^{n + 1}$ dari ${(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n}$ .

$r = \frac{8^{n + 1} ({(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n - (n + 1)})}{8^{n + 1}}$

Langkah 2.2.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$r = \frac{8^{n + 1} ({(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n - (n + 1)})}{8^{n + 1} \cdot 1}$

Langkah 2.2.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$r = \frac{8^{n + 1} ({(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n - (n + 1)})}{8^{n + 1} \cdot 1}$

Langkah 2.2.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$r = \frac{{(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n - (n + 1)}}{1}$

Langkah 2.2.4.2.4

Bagilah ${(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n - (n + 1)}$ dengan $1$ .

$r = {(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n - (n + 1)}$

Langkah 2.2.5

Tambahkan $n$ dan $0$ .

$r = {(- 4)}^{n - (n - 1)} \cdot 8^{n - (n + 1)}$

Langkah 2.2.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.6.1

Terapkan sifat distributif.

$r = {(- 4)}^{n - n - - 1} \cdot 8^{n - (n + 1)}$

Langkah 2.2.6.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$r = {(- 4)}^{n - n + 1} \cdot 8^{n - (n + 1)}$

Langkah 2.2.7

Kurangi $n$ dengan $n$ .

$r = {(- 4)}^{0 + 1} \cdot 8^{n - (n + 1)}$

Langkah 2.2.8

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$r = {(- 4)}^{1} \cdot 8^{n - (n + 1)}$

Langkah 2.2.9

Evaluasi eksponennya.

$r = - 4 \cdot 8^{n - (n + 1)}$

Langkah 2.2.10

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.10.1

Terapkan sifat distributif.

$r = - 4 \cdot 8^{n - n - 1 \cdot 1}$

Langkah 2.2.10.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$r = - 4 \cdot 8^{n - n - 1}$

Langkah 2.2.11

Kurangi $n$ dengan $n$ .

$r = - 4 \cdot 8^{0 - 1}$

Langkah 2.2.12

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$r = - 4 \cdot 8^{- 1}$

Langkah 2.2.13

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$r = - 4 \cdot \frac{1}{8}$

Langkah 2.2.14

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.14.1

Faktorkan $4$ dari $- 4$ .

$r = 4 (- 1) \cdot \frac{1}{8}$

Langkah 2.2.14.2

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$r = 4 \cdot - 1 \cdot \frac{1}{4 \cdot 2}$

Langkah 2.2.14.3

Batalkan faktor persekutuan.

$r = 4 \cdot - 1 \cdot \frac{1}{4 \cdot 2}$

Langkah 2.2.14.4

Tulis kembali pernyataannya.

$r = - 1 \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 2.2.15

Tulis kembali $- 1 (\frac{1}{2})$ sebagai $- (\frac{1}{2})$ .

$r = - \frac{1}{2}$

Langkah 3

Karena $| r | < 1$ , deretnya konvergen.

Langkah 4

Tentukan suku pertama dalam deret dengan mensubstitusikan ke dalam batas bawah dan menyederhanakannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $1$ untuk $n$ ke dalam $\frac{{(- 4)}^{n - 1}}{8^{n}}$ .

$a = \frac{{(- 4)}^{1 - 1}}{8^{1}}$

Langkah 4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$a = \frac{{(- 4)}^{0}}{8^{1}}$

Langkah 4.2.1.2

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$a = \frac{1}{8^{1}}$

Langkah 4.2.2

Evaluasi eksponennya.

$a = \frac{1}{8}$

Langkah 5

Substitusikan nilai rasio dan suku pertama ke dalam rumus penjumlahan.

$\frac{\frac{1}{8}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{1 - - \frac{1}{2}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kalikan $- - \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{1 + 1 (\frac{1}{2})}$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{2}}$

Langkah 6.2.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}$

Langkah 6.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{\frac{2 + 1}{2}}$

Langkah 6.2.4

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{\frac{3}{2}}$

Langkah 6.3

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{1}{8} (1 (\frac{2}{3}))$

Langkah 6.4

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3}$

Langkah 6.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$\frac{1}{2 (4)} \cdot \frac{2}{3}$

Langkah 6.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2 \cdot 4} \cdot \frac{2}{3}$

Langkah 6.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Langkah 6.6

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 3}$

Langkah 6.7

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$\frac{1}{12}$

Langkah 7

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{1}{12}$

Bentuk Desimal:

$0.08\overline{3}$