Kalkulus Contoh

$\frac{\sqrt{t}}{4 t - 3}$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{t}$ sebagai $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{t^{\frac{1}{2}}}{4 t - 3}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ adalah $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ di mana $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ dan $g (t) = 4 t - 3$ .

$\frac{(4 t - 3) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [4 t - 3]}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(4 t - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [4 t - 3]}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Langkah 4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(4 t - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [4 t - 3]}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Langkah 5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(4 t - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [4 t - 3]}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Langkah 6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{(4 t - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [4 t - 3]}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Langkah 7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{(4 t - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [4 t - 3]}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Langkah 7.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{(4 t - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [4 t - 3]}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Langkah 8

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{(4 t - 3) (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [4 t - 3]}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Langkah 8.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(4 t - 3) \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2} - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [4 t - 3]}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Langkah 8.3

Pindahkan $t^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(4 t - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [4 t - 3]}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Langkah 9

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 t - 3$ terhadap $t$ adalah $\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$\frac{(4 t - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Langkah 10

Karena $4$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $4 t$ terhadap $t$ adalah $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(4 t - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} (4 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Langkah 11

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(4 t - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Langkah 12

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$\frac{(4 t - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} (4 + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Langkah 13

Karena $- 3$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $- 3$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$\frac{(4 t - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} (4 + 0)}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Langkah 14

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$\frac{(4 t - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} \cdot 4}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Langkah 14.2

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$\frac{(4 t - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Langkah 15

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{4 t \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Langkah 15.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1.1.1

Faktorkan $2$ dari $4 t$ .

$\frac{2 (2 t) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Langkah 15.2.1.1.2

Faktorkan $2$ dari $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (2 t) \frac{1}{2 (t^{\frac{1}{2}})} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Langkah 15.2.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (2 t) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Langkah 15.2.1.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2 t \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Langkah 15.2.1.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{t \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Langkah 15.2.1.3

Gabungkan $t$ dan $\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{t \cdot 2}{t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Langkah 15.2.1.4

Pindahkan $t^{\frac{1}{2}}$ ke pembilang menggunakan aturan eksponen negatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{t \cdot 2 t^{- \frac{1}{2}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Langkah 15.2.1.5

Kalikan $t$ dengan $t^{- \frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1.5.1

Pindahkan $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{t^{- \frac{1}{2}} t \cdot 2 - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Langkah 15.2.1.5.2

Kalikan $t^{- \frac{1}{2}}$ dengan $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1.5.2.1

Naikkan $t$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{t^{- \frac{1}{2}} t^{1} \cdot 2 - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Langkah 15.2.1.5.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{t^{- \frac{1}{2} + 1} \cdot 2 - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Langkah 15.2.1.5.3

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{t^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \cdot 2 - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Langkah 15.2.1.5.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{t^{\frac{- 1 + 2}{2}} \cdot 2 - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Langkah 15.2.1.5.5

Tambahkan $- 1$ dan $2$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Langkah 15.2.1.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot t^{\frac{1}{2}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Langkah 15.2.1.7

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 t^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Langkah 15.2.1.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{2 t^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Langkah 15.2.2

Kurangi $4 t^{\frac{1}{2}}$ dengan $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 2 t^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Langkah 15.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.3.1

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 t^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.3.1.1

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- (2 t^{\frac{1}{2}}) - \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Langkah 15.3.1.2

Faktorkan $- 1$ dari $- \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- (2 t^{\frac{1}{2}}) - (\frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}})}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Langkah 15.3.1.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 t^{\frac{1}{2}}) - (\frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}})$ .

$\frac{- (2 t^{\frac{1}{2}} + \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}})}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Langkah 15.3.2

Untuk menuliskan $2 t^{\frac{1}{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- (2 t^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}})}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Langkah 15.3.3

Gabungkan $2 t^{\frac{1}{2}}$ dan $\frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- (\frac{2 t^{\frac{1}{2}} (2 t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}})}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Langkah 15.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- \frac{2 t^{\frac{1}{2}} (2 t^{\frac{1}{2}}) + 3}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Langkah 15.3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.3.5.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{- \frac{2 \cdot 2 t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} + 3}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Langkah 15.3.5.2

Kalikan $t^{\frac{1}{2}}$ dengan $t^{\frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.3.5.2.1

Pindahkan $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- \frac{2 \cdot 2 (t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) + 3}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Langkah 15.3.5.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{- \frac{2 \cdot 2 t^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 3}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Langkah 15.3.5.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- \frac{2 \cdot 2 t^{\frac{1 + 1}{2}} + 3}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Langkah 15.3.5.2.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{- \frac{2 \cdot 2 t^{\frac{2}{2}} + 3}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Langkah 15.3.5.2.5

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$\frac{- \frac{2 \cdot 2 t^{1} + 3}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Langkah 15.3.5.3

Sederhanakan $2 \cdot 2 t^{1}$ .

$\frac{- \frac{2 \cdot 2 t + 3}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Langkah 15.3.5.4

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{- \frac{4 t + 3}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Langkah 15.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$- \frac{4 t + 3}{2 t^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Langkah 15.5

Kalikan $\frac{1}{{(4 t - 3)}^{2}}$ dengan $\frac{4 t + 3}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{4 t + 3}{{(4 t - 3)}^{2} (2 t^{\frac{1}{2}})}$

Langkah 15.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri ${(4 t - 3)}^{2}$ .

$- \frac{4 t + 3}{2 \cdot {(4 t - 3)}^{2} t^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 15.7

Susun kembali faktor-faktor dalam $- \frac{4 t + 3}{2 {(4 t - 3)}^{2} t^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{4 t + 3}{2 t^{\frac{1}{2}} {(4 t - 3)}^{2}}$