Kalkulus Contoh

$\frac{2 x^{2} - 3}{x^{2} - 1}$

Langkah 1

Tulis $\frac{2 x^{2} - 3}{x^{2} - 1}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{2 x^{2} - 3}{x^{2} - 1}$

Langkah 2

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = 2 x^{2} - 3$ dan $g (x) = x^{2} - 1$ .

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3] - (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x^{2} - 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 2.2.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 2.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 2.2.4

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 2.2.5

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x + 0) - (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 2.2.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.6.1

Tambahkan $4 x$ dan $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x) - (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 2.2.6.2

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $x^{2} - 1$ .

$\frac{4 \cdot (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 2.2.7

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 2.2.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} - 3) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 2.2.9

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} - 3) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 2.2.10

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.10.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} - 3) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 2.2.10.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - 2 (2 x^{2} - 3) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(4 x^{2} + 4 \cdot - 1) x - 2 (2 x^{2} - 3) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 2.3.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{4 x^{2} x + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2} - 3) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 2.3.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{4 x^{2} x + 4 \cdot - 1 x + (- 2 (2 x^{2}) - 2 \cdot - 3) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 2.3.4

Terapkan sifat distributif.

$\frac{4 x^{2} x + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1.1

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1.1.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{4 (x \cdot x^{2}) + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 2.3.5.1.1.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1.1.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{4 (x^{1} x^{2}) + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 2.3.5.1.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{4 x^{1 + 2} + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 2.3.5.1.1.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{4 x^{3} + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 2.3.5.1.2

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 2.3.5.1.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1.3.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 (x \cdot x^{2})) - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 2.3.5.1.3.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1.3.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 (x^{1} x^{2})) - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 2.3.5.1.3.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 x^{1 + 2}) - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 2.3.5.1.3.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 x^{3}) - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 2.3.5.1.4

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 4 x^{3} - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 2.3.5.1.5

Kalikan $- 2$ dengan $- 3$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 4 x^{3} + 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 2.3.5.2

Gabungkan suku balikan dalam $4 x^{3} - 4 x - 4 x^{3} + 6 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.2.1

Kurangi $4 x^{3}$ dengan $4 x^{3}$ .

$\frac{- 4 x + 0 + 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 2.3.5.2.2

Tambahkan $- 4 x$ dan $0$ .

$\frac{- 4 x + 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 2.3.5.3

Tambahkan $- 4 x$ dan $6 x$ .

$\frac{2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 2.3.6

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\frac{2 x}{{(x^{2} - 1^{2})}^{2}}$

Langkah 2.3.6.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 1$ .

$\frac{2 x}{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}$

Langkah 2.3.6.3

Terapkan kaidah hasil kali ke $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{2 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Langkah 3

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{2 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}})$

Langkah 3.2

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Langkah 3.3.2

Kalikan ${(x + 1)}^{2}$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Langkah 3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = {(x + 1)}^{2}$ dan $g (x) = {(x - 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x ({(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{2}) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2}))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Langkah 3.5

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $x - 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x ({(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (x - 1)) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2}))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Langkah 3.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x ({(x + 1)}^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} (x - 1)) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2}))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Langkah 3.5.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x - 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x ({(x + 1)}^{2} (2 (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 1)) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2}))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Langkah 3.6

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri ${(x + 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 \cdot ({(x + 1)}^{2} (x - 1)) \frac{d}{d x} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2}))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Langkah 3.6.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2}))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Langkah 3.6.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2}))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Langkah 3.6.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) (1 + 0) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2}))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Langkah 3.6.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.5.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) \cdot 1 + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2}))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Langkah 3.6.5.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2}))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Langkah 3.7

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $x + 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Langkah 3.7.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Langkah 3.7.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x + 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (2 (x + 1) \frac{d}{d x} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Langkah 3.8

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri ${(x - 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 \cdot ({(x - 1)}^{2} (x + 1)) \frac{d}{d x} (x + 1))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Langkah 3.8.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Langkah 3.8.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} (1)))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Langkah 3.8.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1) (1 + 0))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Langkah 3.8.5

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.5.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1) \cdot 1)}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Langkah 3.8.5.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}})$

Langkah 3.8.5.3

Gabungkan $2$ dan $\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Langkah 3.9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1

Terapkan kaidah hasil kali ke ${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Langkah 3.9.2

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = \frac{2 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1)) - x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Langkah 3.9.3

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = \frac{2 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}) + 2 (- x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1))) + 2 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Langkah 3.9.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.4.1

Faktorkan $2 (x + 1) (x - 1)$ dari $2 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} + 2 (- x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1))) + 2 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.4.1.1

Faktorkan $2 (x + 1) (x - 1)$ dari $2 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1)) + 2 (- x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1))) + 2 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Langkah 3.9.4.1.2

Faktorkan $2 (x + 1) (x - 1)$ dari $2 (- x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1)))$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1)) + 2 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x + 1))) + 2 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Langkah 3.9.4.1.3

Faktorkan $2 (x + 1) (x - 1)$ dari $2 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1)) + 2 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x + 1))) + 2 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x - 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Langkah 3.9.4.1.4

Faktorkan $2 (x + 1) (x - 1)$ dari $2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1)) + 2 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x + 1)))$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - x (2 (x + 1))) + 2 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x - 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Langkah 3.9.4.1.5

Faktorkan $2 (x + 1) (x - 1)$ dari $2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - x (2 (x + 1))) + 2 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x - 1)))$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - x (2 (x + 1)) - x (2 (x - 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Langkah 3.9.4.2

Gabungkan eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.4.2.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - 2 x (x + 1) - x (2 (x - 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Langkah 3.9.4.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Langkah 3.9.4.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.4.3.1

Perluas $(x + 1) (x - 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.4.3.1.1

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x (x - 1) + 1 (x - 1) - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Langkah 3.9.4.3.1.2

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Langkah 3.9.4.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Langkah 3.9.4.3.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.4.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.4.3.2.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Langkah 3.9.4.3.2.1.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Langkah 3.9.4.3.2.1.3

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Langkah 3.9.4.3.2.1.4

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Langkah 3.9.4.3.2.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - x + x - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Langkah 3.9.4.3.2.2

Tambahkan $- x$ dan $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 0 - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Langkah 3.9.4.3.2.3

Tambahkan $x^{2}$ dan $0$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Langkah 3.9.4.3.3

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1 - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Langkah 3.9.4.3.4

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.4.3.4.1

Pindahkan $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 1 - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Langkah 3.9.4.3.4.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x \cdot 1 - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Langkah 3.9.4.3.5

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Langkah 3.9.4.3.6

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Langkah 3.9.4.3.7

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.4.3.7.1

Pindahkan $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Langkah 3.9.4.3.7.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Langkah 3.9.4.3.8

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 2 x)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Langkah 3.9.4.4

Gabungkan suku balikan dalam $x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.4.4.1

Tambahkan $- 2 x$ dan $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 0)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Langkah 3.9.4.4.2

Tambahkan $x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x^{2}$ dan $0$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x^{2})}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Langkah 3.9.4.5

Kurangi $2 x^{2}$ dengan $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (- x^{2} - 1 - 2 x^{2})}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Langkah 3.9.4.6

Kurangi $2 x^{2}$ dengan $- x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Langkah 3.9.5

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.5.1

Kalikan eksponen dalam ${({(x + 1)}^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.5.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{2 \cdot 2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Langkah 3.9.5.1.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{4} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Langkah 3.9.5.2

Kalikan eksponen dalam ${({(x - 1)}^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.5.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Langkah 3.9.5.2.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$

Langkah 3.9.5.3

Hapus faktor persekutuan dari $x + 1$ dan ${(x + 1)}^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.5.3.1

Faktorkan $x + 1$ dari $2 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 1) ((2 (x - 1)) (- 3 x^{2} - 1))}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$

Langkah 3.9.5.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.5.3.2.1

Faktorkan $x + 1$ dari ${(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 1) ((2 (x - 1)) (- 3 x^{2} - 1))}{(x + 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4})}$

Langkah 3.9.5.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (x) = \frac{(x + 1) ((2 (x - 1)) (- 3 x^{2} - 1))}{(x + 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4})}$

Langkah 3.9.5.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (x) = \frac{(2 (x - 1)) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}}$

Langkah 3.9.5.4

Hapus faktor persekutuan dari $x - 1$ dan ${(x - 1)}^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.5.4.1

Faktorkan $x - 1$ dari $2 (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 1) (2 (- 3 x^{2} - 1))}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}}$

Langkah 3.9.5.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.5.4.2.1

Faktorkan $x - 1$ dari ${(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 1) (2 (- 3 x^{2} - 1))}{(x - 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3})}$

Langkah 3.9.5.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (x) = \frac{(x - 1) (2 (- 3 x^{2} - 1))}{(x - 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3})}$

Langkah 3.9.5.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Langkah 3.9.6

Faktorkan $- 1$ dari $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (3 x^{2}) - 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Langkah 3.9.7

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (3 x^{2}) - 1 \cdot 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Langkah 3.9.8

Faktorkan $- 1$ dari $- (3 x^{2}) - 1 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (3 x^{2} + 1))}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Langkah 3.9.9

Tulis kembali $- (3 x^{2} + 1)$ sebagai $- 1 (3 x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 1 (3 x^{2} + 1))}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Langkah 3.9.10

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (x) = - \frac{2 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Langkah 4

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$\frac{2 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}} = 0$

Langkah 5

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3] - (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 5.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x^{2} - 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 5.1.2.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 5.1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 5.1.2.4

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 5.1.2.5

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x + 0) - (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 5.1.2.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.6.1

Tambahkan $4 x$ dan $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x) - (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 5.1.2.6.2

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $x^{2} - 1$ .

$\frac{4 \cdot (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 5.1.2.7

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 5.1.2.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} - 3) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 5.1.2.9

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} - 3) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 5.1.2.10

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.10.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} - 3) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 5.1.2.10.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - 2 (2 x^{2} - 3) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 5.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(4 x^{2} + 4 \cdot - 1) x - 2 (2 x^{2} - 3) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 5.1.3.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{4 x^{2} x + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2} - 3) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 5.1.3.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{4 x^{2} x + 4 \cdot - 1 x + (- 2 (2 x^{2}) - 2 \cdot - 3) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 5.1.3.4

Terapkan sifat distributif.

$\frac{4 x^{2} x + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 5.1.3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.5.1.1

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.5.1.1.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{4 (x \cdot x^{2}) + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 5.1.3.5.1.1.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.5.1.1.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{4 (x^{1} x^{2}) + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 5.1.3.5.1.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{4 x^{1 + 2} + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 5.1.3.5.1.1.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{4 x^{3} + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 5.1.3.5.1.2

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 5.1.3.5.1.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.5.1.3.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 (x \cdot x^{2})) - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 5.1.3.5.1.3.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.5.1.3.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 (x^{1} x^{2})) - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 5.1.3.5.1.3.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 x^{1 + 2}) - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 5.1.3.5.1.3.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 x^{3}) - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 5.1.3.5.1.4

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 4 x^{3} - 2 \cdot - 3 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 5.1.3.5.1.5

Kalikan $- 2$ dengan $- 3$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 4 x^{3} + 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 5.1.3.5.2

Gabungkan suku balikan dalam $4 x^{3} - 4 x - 4 x^{3} + 6 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.5.2.1

Kurangi $4 x^{3}$ dengan $4 x^{3}$ .

$\frac{- 4 x + 0 + 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 5.1.3.5.2.2

Tambahkan $- 4 x$ dan $0$ .

$\frac{- 4 x + 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 5.1.3.5.3

Tambahkan $- 4 x$ dan $6 x$ .

$\frac{2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 5.1.3.6

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.6.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\frac{2 x}{{(x^{2} - 1^{2})}^{2}}$

Langkah 5.1.3.6.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 1$ .

$\frac{2 x}{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}$

Langkah 5.1.3.6.3

Terapkan kaidah hasil kali ke $(x + 1) (x - 1)$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Langkah 5.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{2 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Langkah 6

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{2 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{2 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}} = 0$

Langkah 6.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$2 x = 0$

Langkah 6.3

Bagi setiap suku pada $2 x = 0$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Bagilah setiap suku di $2 x = 0$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Langkah 6.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Langkah 6.3.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Langkah 6.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$x = 0$

Langkah 7

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Atur penyebut dalam $\frac{2 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$

Langkah 7.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

Langkah 7.2.2

Atur ${(x + 1)}^{2}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Atur ${(x + 1)}^{2}$ sama dengan $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Langkah 7.2.2.2

Selesaikan ${(x + 1)}^{2} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.2.1

Atur $x + 1$ agar sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

Langkah 7.2.2.2.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 7.2.3

Atur ${(x - 1)}^{2}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1

Atur ${(x - 1)}^{2}$ sama dengan $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Langkah 7.2.3.2

Selesaikan ${(x - 1)}^{2} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.2.1

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 7.2.3.2.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 7.2.4

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat ${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$ benar.

$x = - 1, 1$

Langkah 7.3

Persamaan tidak terdefinisi di mana penyebutnya sama dengan $0$ , argumen dari akar kuadratnya lebih kecil dari $0$ , atau argumen dari logaritmanya lebih kecil dari atau sama dengan $0$ .

$x = - 1, x = 1$

Langkah 8

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = 0$

Langkah 9

Evaluasi turunan kedua pada $x = 0$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- \frac{2 (3 {(0)}^{2} + 1)}{{((0) + 1)}^{3} {((0) - 1)}^{3}}$

Langkah 10

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$- \frac{2 (3 \cdot 0 + 1)}{{(0 + 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

Langkah 10.1.2

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$- \frac{2 (0 + 1)}{{(0 + 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

Langkah 10.1.3

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{{(0 + 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

Langkah 10.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $- 1 (0)$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{{(- 1 (0) + 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

Langkah 10.2.2

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{{(- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

Langkah 10.2.3

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 1$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{{(- 1 \cdot (0 - 1))}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

Langkah 10.2.4

Terapkan kaidah hasil kali ke $- 1 \cdot (0 - 1)$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{{(- 1)}^{3} \cdot {(0 - 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

Langkah 10.2.5

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

Langkah 10.2.6

Kalikan ${(0 - 1)}^{3}$ dengan ${(0 - 1)}^{3}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.6.1

Pindahkan ${(0 - 1)}^{3}$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{- 1 \cdot ({(0 - 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3})}$

Langkah 10.2.6.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- \frac{2 \cdot 1}{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{3 + 3}}$

Langkah 10.2.6.3

Tambahkan $3$ dan $3$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{6}}$

Langkah 10.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$- \frac{2}{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{6}}$

Langkah 10.4

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.1

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$- \frac{2}{- 1 {(- 1)}^{6}}$

Langkah 10.4.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $6$ .

$- \frac{2}{- 1 \cdot 1}$

Langkah 10.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- \frac{2}{- 1}$

Langkah 10.5.2

Bagilah $2$ dengan $- 1$ .

$- - 2$

Langkah 10.5.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$2$

Langkah 11

$x = 0$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 0$ adalah minimum lokal

Langkah 12

Tentukan nilai y ketika $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = \frac{2 {(0)}^{2} - 3}{{(0)}^{2} - 1}$

Langkah 12.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = \frac{2 \cdot 0 - 3}{0^{2} - 1}$

Langkah 12.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$f (0) = \frac{0 - 3}{0^{2} - 1}$

Langkah 12.2.1.3

Kurangi $3$ dengan $0$ .

$f (0) = \frac{- 3}{0^{2} - 1}$

Langkah 12.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = \frac{- 3}{0 - 1}$

Langkah 12.2.2.2

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$f (0) = \frac{- 3}{- 1}$

Langkah 12.2.3

Bagilah $- 3$ dengan $- 1$ .

$f (0) = 3$

Langkah 12.2.4

Jawaban akhirnya adalah $3$ .

$y = 3$

Langkah 13

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = \frac{2 x^{2} - 3}{x^{2} - 1}$ .

$(0, 3)$ adalah minimum lokal

Langkah 14