Kalkulus Contoh

$f (x) = (x + 1) e^{x}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x + 1$ dan $g (x) = e^{x}$ .

$f' (x) = (x + 1) \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x + 1)$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$f' (x) = (x + 1) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x + 1)$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = (x + 1) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = (x + 1) e^{x} + e^{x} (1 + \frac{d}{d x} (1))$

Langkah 1.1.3.3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = (x + 1) e^{x} + e^{x} (1 + 0)$

Langkah 1.1.3.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f' (x) = (x + 1) e^{x} + e^{x} \cdot 1$

Langkah 1.1.3.4.2

Kalikan $e^{x}$ dengan $1$ .

$f' (x) = (x + 1) e^{x} + e^{x}$

Langkah 1.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = x e^{x} + 1 e^{x} + e^{x}$

Langkah 1.1.4.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.2.1

Kalikan $e^{x}$ dengan $1$ .

$f' (x) = x e^{x} + e^{x} + e^{x}$

Langkah 1.1.4.2.2

Tambahkan $e^{x}$ dan $e^{x}$ .

$f' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$

Langkah 1.1.4.3

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = e^{x} x + 2 e^{x}$

Langkah 1.1.4.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$f' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $x e^{x} + 2 e^{x}$ .

$x e^{x} + 2 e^{x}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $x e^{x} + 2 e^{x} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$x e^{x} + 2 e^{x} = 0$

Langkah 2.2

Faktorkan $e^{x}$ dari $x e^{x} + 2 e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan $e^{x}$ dari $x e^{x}$ .

$e^{x} x + 2 e^{x} = 0$

Langkah 2.2.2

Faktorkan $e^{x}$ dari $2 e^{x}$ .

$e^{x} x + e^{x} \cdot 2 = 0$

Langkah 2.2.3

Faktorkan $e^{x}$ dari $e^{x} x + e^{x} \cdot 2$ .

$e^{x} (x + 2) = 0$

Langkah 2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$e^{x} = 0$

$x + 2 = 0$

Langkah 2.4

Atur $e^{x}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Atur $e^{x}$ sama dengan $0$ .

$e^{x} = 0$

Langkah 2.4.2

Selesaikan $e^{x} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Langkah 2.4.2.2

Persamaannya tidak dapat diselesaikan karena $\ln (0)$ tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 2.4.2.3

Tidak ada penyelesaian untuk $e^{x} = 0$

Tidak ada penyelesaian

Langkah 2.5

Atur $x + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Atur $x + 2$ sama dengan $0$ .

$x + 2 = 0$

Langkah 2.5.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 2$

Langkah 2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $e^{x} (x + 2) = 0$ benar.

$x = - 2$

Langkah 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $- 2$ .

$- 2$

Langkah 4

Setelah mencari titik yang membuat turunan $f' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$ sama dengan $0$ atau tidak terdefinisi, interval untuk memeriksa di mana $f (x) = (x + 1) e^{x}$ meningkat dan di mana menurun yaitu $(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$ .

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 2)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 3$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 3) = (- 3) \cdot e^{- 3} + 2 e^{- 3}$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 3) = - 3 \cdot \frac{1}{e^{3}} + 2 e^{- 3}$

Langkah 5.2.1.2

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{1}{e^{3}}$ .

$f' (- 3) = \frac{- 3}{e^{3}} + 2 e^{- 3}$

Langkah 5.2.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (- 3) = - \frac{3}{e^{3}} + 2 e^{- 3}$

Langkah 5.2.1.4

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 3) = - \frac{3}{e^{3}} + 2 (\frac{1}{e^{3}})$

Langkah 5.2.1.5

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{e^{3}}$ .

$f' (- 3) = - \frac{3}{e^{3}} + \frac{2}{e^{3}}$

Langkah 5.2.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (- 3) = \frac{- 3 + 2}{e^{3}}$

Langkah 5.2.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.2.1

Tambahkan $- 3$ dan $2$ .

$f' (- 3) = \frac{- 1}{e^{3}}$

Langkah 5.2.2.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (- 3) = - \frac{1}{e^{3}}$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{1}{e^{3}}$ .

$- \frac{1}{e^{3}}$

Langkah 5.3

Pada $x = - 3$ , turunannya adalah $- \frac{1}{e^{3}}$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, - 2)$ .

Menurun pada $(- \infty, - 2)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- 2, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 1) = (- 1) \cdot e^{- 1} + 2 e^{- 1}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1) = - 1 \cdot \frac{1}{e} + 2 e^{- 1}$

Langkah 6.2.1.2

Tulis kembali $- 1 \frac{1}{e}$ sebagai $- \frac{1}{e}$ .

$f' (- 1) = - \frac{1}{e} + 2 e^{- 1}$

Langkah 6.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1) = - \frac{1}{e} + 2 (\frac{1}{e})$

Langkah 6.2.1.4

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{e}$ .

$f' (- 1) = - \frac{1}{e} + \frac{2}{e}$

Langkah 6.2.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (- 1) = \frac{- 1 + 2}{e}$

Langkah 6.2.2.2

Tambahkan $- 1$ dan $2$ .

$f' (- 1) = \frac{1}{e}$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $\frac{1}{e}$ .

$\frac{1}{e}$

Langkah 6.3

Pada $x = - 1$ , turunannya adalah $\frac{1}{e}$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- 2, \infty)$ .

Meningkat pada $(- 2, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 7

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- 2, \infty)$

Menurun pada: $(- \infty, - 2)$

Langkah 8