Kalkulus Contoh

$f (x) = \ln (x^{2} + 1)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = x^{2} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Langkah 1.1.1.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Langkah 1.1.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 1.1.2.3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + 0)$

Langkah 1.1.2.4

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.4.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x)$

Langkah 1.1.2.4.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{2}{x^{2} + 1} x$

Langkah 1.1.2.4.3

Gabungkan $\frac{2}{x^{2} + 1}$ dan $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{2 x}{x^{2} + 1} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{2 x}{x^{2} + 1} = 0$

Langkah 2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$2 x = 0$

Langkah 2.3

Bagi setiap suku pada $2 x = 0$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagilah setiap suku di $2 x = 0$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Langkah 2.3.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$x = 0$

Langkah 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4

Setelah mencari titik yang membuat turunan $f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ sama dengan $0$ atau tidak terdefinisi, interval untuk memeriksa di mana $f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ meningkat dan di mana menurun yaitu $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, 0)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 1) = \frac{2 (- 1)}{{(- 1)}^{2} + 1}$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{{(- 1)}^{2} + 1}$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{1 + 1}$

Langkah 5.2.2.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{2}$

Langkah 5.2.3

Bagilah $- 2$ dengan $2$ .

$f' (- 1) = - 1$

Langkah 5.2.4

Jawaban akhirnya adalah $- 1$ .

$- 1$

Langkah 5.3

Pada $x = - 1$ , turunannya adalah $- 1$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, 0)$ .

Menurun pada $(- \infty, 0)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(0, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (1) = \frac{2 (1)}{{(1)}^{2} + 1}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f' (1) = \frac{2}{1^{2} + 1}$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (1) = \frac{2}{1 + 1}$

Langkah 6.2.2.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f' (1) = \frac{2}{2}$

Langkah 6.2.3

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$f' (1) = 1$

Langkah 6.2.4

Jawaban akhirnya adalah $1$ .

$1$

Langkah 6.3

Pada $x = 1$ , turunannya adalah $1$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(0, \infty)$ .

Meningkat pada $(0, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 7

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(0, \infty)$

Menurun pada: $(- \infty, 0)$

Langkah 8