Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{6}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Karena $\frac{1}{6}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{e^{x} + e^{- x}}{6}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$

Langkah 1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{x} + e^{- x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{1}{6} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Langkah 1.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- x$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 1.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 1.4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Langkah 1.4.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + e^{- x} \cdot - 1)$

Langkah 1.4.3.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $e^{- x}$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} - 1 \cdot e^{- x})$

Langkah 1.4.3.3

Tulis kembali $- 1 e^{- x}$ sebagai $- e^{- x}$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} - e^{- x})$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{6} e^{x} + \frac{1}{6} (- e^{- x})$

Langkah 1.5.2

Gabungkan $\frac{1}{6}$ dan $e^{- x}$ .

$\frac{1}{6} e^{x} - \frac{e^{- x}}{6}$

Langkah 1.5.3

Gabungkan $\frac{1}{6}$ dan $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{6} - \frac{e^{- x}}{6}$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{e^{x}}{6} - \frac{e^{- x}}{6}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{- x}}{6}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{e^{x}}{6}) + \frac{d}{d x} (- \frac{e^{- x}}{6})$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{6}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $\frac{1}{6}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{e^{x}}{6}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- \frac{e^{- x}}{6})$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} + \frac{d}{d x} (- \frac{e^{- x}}{6})$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{e^{- x}}{6}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- \frac{1}{6}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{e^{- x}}{6}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} - \frac{1}{6} \cdot \frac{d}{d x} e^{- x}$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- x$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} - \frac{1}{6} \cdot (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x))$

Langkah 2.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} - \frac{1}{6} \cdot (e^{u} \frac{d}{d x} (- x))$

Langkah 2.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} - \frac{1}{6} \cdot (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

Langkah 2.3.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} - \frac{1}{6} \cdot (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

Langkah 2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} - \frac{1}{6} \cdot (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Langkah 2.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} - \frac{1}{6} \cdot (e^{- x} \cdot - 1)$

Langkah 2.3.6

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $e^{- x}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} - \frac{1}{6} \cdot (- 1 \cdot e^{- x})$

Langkah 2.3.7

Tulis kembali $- 1 e^{- x}$ sebagai $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} - \frac{1}{6} \cdot (- e^{- x})$

Langkah 2.3.8

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} + 1 (\frac{1}{6}) \cdot e^{- x}$

Langkah 2.3.9

Kalikan $\frac{1}{6}$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} + \frac{1}{6} \cdot e^{- x}$

Langkah 2.3.10

Gabungkan $\frac{1}{6}$ dan $e^{- x}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} + \frac{e^{- x}}{6}$

Langkah 2.4

Gabungkan $\frac{1}{6}$ dan $e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{e^{x}}{6} + \frac{e^{- x}}{6}$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$\frac{e^{x}}{6} - \frac{e^{- x}}{6} = 0$

Langkah 4

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.1

Karena $\frac{1}{6}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{e^{x} + e^{- x}}{6}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$

Langkah 4.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{x} + e^{- x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{1}{6} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Langkah 4.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Langkah 4.1.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- x$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 4.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 4.1.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 4.1.4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 4.1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Langkah 4.1.4.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + e^{- x} \cdot - 1)$

Langkah 4.1.4.3.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $e^{- x}$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} - 1 \cdot e^{- x})$

Langkah 4.1.4.3.3

Tulis kembali $- 1 e^{- x}$ sebagai $- e^{- x}$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} - e^{- x})$

Langkah 4.1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.5.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{6} e^{x} + \frac{1}{6} (- e^{- x})$

Langkah 4.1.5.2

Gabungkan $\frac{1}{6}$ dan $e^{- x}$ .

$\frac{1}{6} e^{x} - \frac{e^{- x}}{6}$

Langkah 4.1.5.3

Gabungkan $\frac{1}{6}$ dan $e^{x}$ .

$f' (x) = \frac{e^{x}}{6} - \frac{e^{- x}}{6}$

Langkah 4.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{e^{x}}{6} - \frac{e^{- x}}{6}$ .

$\frac{e^{x}}{6} - \frac{e^{- x}}{6}$

Langkah 5

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{e^{x}}{6} - \frac{e^{- x}}{6} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{e^{x}}{6} - \frac{e^{- x}}{6} = 0$

Langkah 5.2

Pindahkan $- \frac{e^{- x}}{6}$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkannya ke kedua sisinya.

$\frac{e^{x}}{6} = \frac{e^{- x}}{6}$

Langkah 5.3

Karena pernyataan pada setiap sisi persamaan mempunyai penyebut yang sama, maka pembilangnya harus sama.

$e^{x} = e^{- x}$

Langkah 5.4

Karena bilangan pokoknya sama, maka dua pernyataannya sama hanya jika pangkatnya juga sama.

$x = - x$

Langkah 5.5

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Pindahkan semua suku yang mengandung $x$ ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1.1

Tambahkan $x$ ke kedua sisi persamaan.

$x + x = 0$

Langkah 5.5.1.2

Tambahkan $x$ dan $x$ .

$2 x = 0$

Langkah 5.5.2

Bagi setiap suku pada $2 x = 0$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Bagilah setiap suku di $2 x = 0$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Langkah 5.5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Langkah 5.5.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Langkah 5.5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.3.1

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$x = 0$

Langkah 6

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 7

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = 0$

Langkah 8

Evaluasi turunan kedua pada $x = 0$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$\frac{e^{0}}{6} + \frac{e^{- (0)}}{6}$

Langkah 9

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{e^{0} + e^{- (0)}}{6}$

Langkah 9.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{1 + e^{- (0)}}{6}$

Langkah 9.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{1 + e^{0}}{6}$

Langkah 9.2.3

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{1 + 1}{6}$

Langkah 9.3

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{2}{6}$

Langkah 9.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 (1)}{6}$

Langkah 9.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Langkah 9.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Langkah 9.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{3}$

Langkah 10

$x = 0$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 0$ adalah minimum lokal

Langkah 11

Tentukan nilai y ketika $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = \frac{e^{0} + e^{- (0)}}{6}$

Langkah 11.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$f (0) = \frac{1 + e^{- (0)}}{6}$

Langkah 11.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$f (0) = \frac{1 + e^{0}}{6}$

Langkah 11.2.1.3

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$f (0) = \frac{1 + 1}{6}$

Langkah 11.2.1.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f (0) = \frac{2}{6}$

Langkah 11.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$f (0) = \frac{2 (1)}{6}$

Langkah 11.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$f (0) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Langkah 11.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (0) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Langkah 11.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (0) = \frac{1}{3}$

Langkah 11.2.3

Jawaban akhirnya adalah $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{1}{3}$

Langkah 12

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{6}$ .

$(0, \frac{1}{3})$ adalah minimum lokal

Langkah 13