Kalkulus Contoh

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{1}{3}$

Langkah 1

Tulis $\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{1}{3}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{1}{3}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{1}{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Langkah 2.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x^{3}}{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Langkah 2.1.2.3

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Langkah 2.1.2.4

Gabungkan $\frac{3}{3}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Langkah 2.1.2.5

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Langkah 2.1.2.5.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Langkah 2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $- \frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{x^{2}}{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Langkah 2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x^{2} - \frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Langkah 2.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$x^{2} - 2 (\frac{1}{2}) x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Langkah 2.1.3.4

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$x^{2} + \frac{- 2}{2} x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Langkah 2.1.3.5

Gabungkan $\frac{- 2}{2}$ dan $x$ .

$x^{2} + \frac{- 2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Langkah 2.1.3.6

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.6.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 x$ .

$x^{2} + \frac{2 (- x)}{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Langkah 2.1.3.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.6.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$x^{2} + \frac{2 (- x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Langkah 2.1.3.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{2} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Langkah 2.1.3.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{2} + \frac{- x}{1} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Langkah 2.1.3.6.2.4

Bagilah $- x$ dengan $1$ .

$x^{2} - x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Langkah 2.1.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Langkah 2.1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x^{2} - x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Langkah 2.1.4.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$x^{2} - x - 2 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Langkah 2.1.5

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.1

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{1}{3}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$x^{2} - x - 2 + 0$

Langkah 2.1.5.2

Tambahkan $x^{2} - x - 2$ dan $0$ .

$f' (x) = x^{2} - x - 2$

Langkah 2.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - x - 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 2.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 2.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 2.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 2.2.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 2.2.3

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 x - 1 + 0$

Langkah 2.2.3.2

Tambahkan $2 x - 1$ dan $0$ .

$f'' (x) = 2 x - 1$

Langkah 2.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $2 x - 1$ .

$2 x - 1$

Langkah 3

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $2 x - 1 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Langkah 3.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$2 x = 1$

Langkah 3.3

Bagi setiap suku pada $2 x = 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Bagilah setiap suku di $2 x = 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 3.3.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Langkah 4

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $\frac{1}{2}$ dalam $f (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{1}{3}$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{1}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{{(\frac{1}{2})}^{3}}{3} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2} - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{1}{2}) = - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{{(\frac{1}{2})}^{3} + 1}{3} + \frac{- {(\frac{1}{2})}^{2}}{2}$

Langkah 4.1.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{\frac{1^{3}}{2^{3}} + 1}{3} + \frac{- {(\frac{1}{2})}^{2}}{2}$

Langkah 4.1.2.2.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (\frac{1}{2}) = - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{\frac{1}{2^{3}} + 1}{3} + \frac{- {(\frac{1}{2})}^{2}}{2}$

Langkah 4.1.2.2.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{\frac{1}{8} + 1}{3} + \frac{- {(\frac{1}{2})}^{2}}{2}$

Langkah 4.1.2.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.3.1

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$f (\frac{1}{2}) = - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{\frac{1}{8} + \frac{8}{8}}{3} + \frac{- {(\frac{1}{2})}^{2}}{2}$

Langkah 4.1.2.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{1}{2}) = - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{\frac{1 + 8}{8}}{3} + \frac{- {(\frac{1}{2})}^{2}}{2}$

Langkah 4.1.2.3.3

Tambahkan $1$ dan $8$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{\frac{9}{8}}{3} + \frac{- {(\frac{1}{2})}^{2}}{2}$

Langkah 4.1.2.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.4.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$f (\frac{1}{2}) = 2 (- 1) (\frac{1}{2}) + \frac{\frac{9}{8}}{3} + \frac{- {(\frac{1}{2})}^{2}}{2}$

Langkah 4.1.2.4.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{1}{2}) = 2 \cdot (- 1 (\frac{1}{2})) + \frac{\frac{9}{8}}{3} + \frac{- {(\frac{1}{2})}^{2}}{2}$

Langkah 4.1.2.4.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{1}{2}) = - 1 + \frac{\frac{9}{8}}{3} + \frac{- {(\frac{1}{2})}^{2}}{2}$

Langkah 4.1.2.4.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$f (\frac{1}{2}) = - 1 + \frac{9}{8} \cdot \frac{1}{3} + \frac{- {(\frac{1}{2})}^{2}}{2}$

Langkah 4.1.2.4.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.4.3.1

Faktorkan $3$ dari $9$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 1 + \frac{3 (3)}{8} \cdot \frac{1}{3} + \frac{- {(\frac{1}{2})}^{2}}{2}$

Langkah 4.1.2.4.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{1}{2}) = - 1 + \frac{3 \cdot 3}{8} \cdot \frac{1}{3} + \frac{- {(\frac{1}{2})}^{2}}{2}$

Langkah 4.1.2.4.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{1}{2}) = - 1 + \frac{3}{8} + \frac{- {(\frac{1}{2})}^{2}}{2}$

Langkah 4.1.2.4.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.4.4.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 1 + \frac{3}{8} + \frac{- \frac{1^{2}}{2^{2}}}{2}$

Langkah 4.1.2.4.4.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (\frac{1}{2}) = - 1 + \frac{3}{8} + \frac{- \frac{1}{2^{2}}}{2}$

Langkah 4.1.2.4.4.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 1 + \frac{3}{8} + \frac{- \frac{1}{4}}{2}$

Langkah 4.1.2.4.5

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$f (\frac{1}{2}) = - 1 + \frac{3}{8} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 4.1.2.4.6

Kalikan $- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.4.6.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 1 + \frac{3}{8} - \frac{1}{2 \cdot 4}$

Langkah 4.1.2.4.6.2

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 1 + \frac{3}{8} - \frac{1}{8}$

Langkah 4.1.2.5

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.5.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{1}{2}) = - 1 + \frac{3 - 1}{8}$

Langkah 4.1.2.5.2

Kurangi $1$ dengan $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 1 + \frac{2}{8}$

Langkah 4.1.2.5.3

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.5.3.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 1 + \frac{2 (1)}{8}$

Langkah 4.1.2.5.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.5.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 1 + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

Langkah 4.1.2.5.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{1}{2}) = - 1 + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

Langkah 4.1.2.5.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{1}{2}) = - 1 + \frac{1}{4}$

Langkah 4.1.2.6

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 1 \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

Langkah 4.1.2.7

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4}$

Langkah 4.1.2.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 1 \cdot 4 + 1}{4}$

Langkah 4.1.2.9

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.9.1

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 4 + 1}{4}$

Langkah 4.1.2.9.2

Tambahkan $- 4$ dan $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 3}{4}$

Langkah 4.1.2.10

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{3}{4}$

Langkah 4.1.2.11

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{3}{4}$ .

$- \frac{3}{4}$

Langkah 4.2

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $\frac{1}{2}$ dalam $f (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{1}{3}$ adalah $(\frac{1}{2}, - \frac{3}{4})$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(\frac{1}{2}, - \frac{3}{4})$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, \frac{1}{2})$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.4$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0.4) = 2 (0.4) - 1$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kalikan $2$ dengan $0.4$ .

$f'' (0.4) = 0.8 - 1$

Langkah 6.2.2

Kurangi $1$ dengan $0.8$ .

$f'' (0.4) = - 0.2$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 0.2$ .

$- 0.2$

Langkah 6.3

Pada $0.4$ , turunan kedua adalah $- 0.2$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(- \infty, \frac{1}{2})$

Menurun pada $(- \infty, \frac{1}{2})$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(\frac{1}{2}, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.6$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0.6) = 2 (0.6) - 1$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Kalikan $2$ dengan $0.6$ .

$f'' (0.6) = 1.2 - 1$

Langkah 7.2.2

Kurangi $1$ dengan $1.2$ .

$f'' (0.6) = 0.2$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $0.2$ .

$0.2$

Langkah 7.3

Pada $0.6$ , turunan keduanya adalah $0.2$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(\frac{1}{2}, \infty)$ .

Meningkat pada $(\frac{1}{2}, \infty)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 8

Titik belok adalah titik pada kurva ketika kecekungan berubah dari positif ke negatif atau dari negatif ke positif. Titik belok dalam kasus ini adalah $(\frac{1}{2}, - \frac{3}{4})$ .

$(\frac{1}{2}, - \frac{3}{4})$

Langkah 9