Kalkulus Contoh

$y = \frac{x^{4} + 8}{x^{2}}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x^{4} + 8$ dan $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 8] - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 8] - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Langkah 1.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 8] - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 1.2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{4} + 8$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8]) - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$\frac{x^{2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [8]) - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 1.2.4

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{x^{2} (4 x^{3} + 0) - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 1.2.5

Tambahkan $4 x^{3}$ dan $0$ .

$\frac{x^{2} (4 x^{3}) - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 1.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $x^{3}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Pindahkan $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} x^{2} \cdot 4 - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 1.3.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{x^{3 + 2} \cdot 4 - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 1.3.3

Tambahkan $3$ dan $2$ .

$\frac{x^{5} \cdot 4 - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 1.4

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $x^{5}$ .

$\frac{4 \cdot x^{5} - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 1.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{4 x^{5} - (x^{4} + 8) (2 x)}{x^{4}}$

Langkah 1.6

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{4 x^{5} - 2 (x^{4} + 8) x}{x^{4}}$

Langkah 1.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{4 x^{5} + (- 2 x^{4} - 2 \cdot 8) x}{x^{4}}$

Langkah 1.7.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{4 x^{5} - 2 x^{4} x - 2 \cdot 8 x}{x^{4}}$

Langkah 1.7.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.1.1

Kalikan $x^{4}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.1.1.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{4 x^{5} - 2 (x \cdot x^{4}) - 2 \cdot 8 x}{x^{4}}$

Langkah 1.7.3.1.1.2

Kalikan $x$ dengan $x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.1.1.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{4 x^{5} - 2 (x^{1} x^{4}) - 2 \cdot 8 x}{x^{4}}$

Langkah 1.7.3.1.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{4 x^{5} - 2 x^{1 + 4} - 2 \cdot 8 x}{x^{4}}$

Langkah 1.7.3.1.1.3

Tambahkan $1$ dan $4$ .

$\frac{4 x^{5} - 2 x^{5} - 2 \cdot 8 x}{x^{4}}$

Langkah 1.7.3.1.2

Kalikan $- 2$ dengan $8$ .

$\frac{4 x^{5} - 2 x^{5} - 16 x}{x^{4}}$

Langkah 1.7.3.2

Kurangi $2 x^{5}$ dengan $4 x^{5}$ .

$\frac{2 x^{5} - 16 x}{x^{4}}$

Langkah 1.7.4

Faktorkan $2 x$ dari $2 x^{5} - 16 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.1

Faktorkan $2 x$ dari $2 x^{5}$ .

$\frac{2 x (x^{4}) - 16 x}{x^{4}}$

Langkah 1.7.4.2

Faktorkan $2 x$ dari $- 16 x$ .

$\frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 8)}{x^{4}}$

Langkah 1.7.4.3

Faktorkan $2 x$ dari $2 x (x^{4}) + 2 x (- 8)$ .

$\frac{2 x (x^{4} - 8)}{x^{4}}$

Langkah 1.7.5

Hapus faktor persekutuan dari $x$ dan $x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.5.1

Faktorkan $x$ dari $2 x (x^{4} - 8)$ .

$\frac{x (2 (x^{4} - 8))}{x^{4}}$

Langkah 1.7.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.5.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{4}$ .

$\frac{x (2 (x^{4} - 8))}{x \cdot x^{3}}$

Langkah 1.7.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x (2 (x^{4} - 8))}{x \cdot x^{3}}$

Langkah 1.7.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (x) = \frac{2 (x^{4} - 8)}{x^{3}}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{2 (x^{4} - 8)}{x^{3}}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{4} - 8}{x^{3}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{4} - 8}{x^{3}}]$

Langkah 2.2

$2 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} - 8] - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Langkah 2.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Kalikan eksponen dalam ${(x^{3})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} - 8] - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Langkah 2.3.1.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$2 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} - 8] - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{4} - 8$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$2 \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8]) - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Langkah 2.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$2 \frac{x^{3} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8]) - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Langkah 2.3.4

Karena $- 8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 8$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 \frac{x^{3} (4 x^{3} + 0) - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Langkah 2.3.5

Tambahkan $4 x^{3}$ dan $0$ .

$2 \frac{x^{3} (4 x^{3}) - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Langkah 2.4

Kalikan $x^{3}$ dengan $x^{3}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Pindahkan $x^{3}$ .

$2 \frac{x^{3} x^{3} \cdot 4 - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Langkah 2.4.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2 \frac{x^{3 + 3} \cdot 4 - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Langkah 2.4.3

Tambahkan $3$ dan $3$ .

$2 \frac{x^{6} \cdot 4 - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Langkah 2.5

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $x^{6}$ .

$2 \frac{4 \cdot x^{6} - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Langkah 2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$2 \frac{4 x^{6} - (x^{4} - 8) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Langkah 2.7

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$2 \frac{4 x^{6} - 3 (x^{4} - 8) x^{2}}{x^{6}}$

Langkah 2.7.2

Faktorkan $x^{2}$ dari $4 x^{6} - 3 (x^{4} - 8) x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.2.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $4 x^{6}$ .

$2 \frac{x^{2} (4 x^{4}) - 3 (x^{4} - 8) x^{2}}{x^{6}}$

Langkah 2.7.2.2

Faktorkan $x^{2}$ dari $- 3 (x^{4} - 8) x^{2}$ .

$2 \frac{x^{2} (4 x^{4}) + x^{2} (- 3 (x^{4} - 8))}{x^{6}}$

Langkah 2.7.2.3

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{2} (4 x^{4}) + x^{2} (- 3 (x^{4} - 8))$ .

$2 \frac{x^{2} (4 x^{4} - 3 (x^{4} - 8))}{x^{6}}$

Langkah 2.8

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{6}$ .

$2 \frac{x^{2} (4 x^{4} - 3 (x^{4} - 8))}{x^{2} x^{4}}$

Langkah 2.8.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{x^{2} (4 x^{4} - 3 (x^{4} - 8))}{x^{2} x^{4}}$

Langkah 2.8.3

Tulis kembali pernyataannya.

$2 \frac{4 x^{4} - 3 (x^{4} - 8)}{x^{4}}$

Langkah 2.9

Gabungkan $2$ dan $\frac{4 x^{4} - 3 (x^{4} - 8)}{x^{4}}$ .

$\frac{2 (4 x^{4} - 3 (x^{4} - 8))}{x^{4}}$

Langkah 2.10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 (4 x^{4} - 3 x^{4} - 3 \cdot - 8)}{x^{4}}$

Langkah 2.10.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 (4 x^{4}) + 2 (- 3 x^{4}) + 2 (- 3 \cdot - 8)}{x^{4}}$

Langkah 2.10.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.3.1.1

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$\frac{8 x^{4} + 2 (- 3 x^{4}) + 2 (- 3 \cdot - 8)}{x^{4}}$

Langkah 2.10.3.1.2

Kalikan $- 3$ dengan $2$ .

$\frac{8 x^{4} - 6 x^{4} + 2 (- 3 \cdot - 8)}{x^{4}}$

Langkah 2.10.3.1.3

Kalikan $2 (- 3 \cdot - 8)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.3.1.3.1

Kalikan $- 3$ dengan $- 8$ .

$\frac{8 x^{4} - 6 x^{4} + 2 \cdot 24}{x^{4}}$

Langkah 2.10.3.1.3.2

Kalikan $2$ dengan $24$ .

$\frac{8 x^{4} - 6 x^{4} + 48}{x^{4}}$

Langkah 2.10.3.2

Kurangi $6 x^{4}$ dengan $8 x^{4}$ .

$\frac{2 x^{4} + 48}{x^{4}}$

Langkah 2.10.4

Faktorkan $2$ dari $2 x^{4} + 48$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.4.1

Faktorkan $2$ dari $2 x^{4}$ .

$\frac{2 (x^{4}) + 48}{x^{4}}$

Langkah 2.10.4.2

Faktorkan $2$ dari $48$ .

$\frac{2 x^{4} + 2 \cdot 24}{x^{4}}$

Langkah 2.10.4.3

Faktorkan $2$ dari $2 x^{4} + 2 \cdot 24$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{4} + 24)}{x^{4}}$