Kalkulus Contoh

$\sum_{k = 3}^{8} k (k - 4)$

Langkah 1

Sederhanakan penjumlahannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Terapkan sifat distributif.

$k \cdot k + k \cdot - 4$

Langkah 1.2

Kalikan $k$ dengan $k$ .

$k^{2} + k \cdot - 4$

Langkah 1.3

Pindahkan $- 4$ ke sebelah kiri $k$ .

$k^{2} - 4 k$

Langkah 1.4

Tulis kembali penjumlahannya.

$\sum_{k = 3}^{8} k^{2} - 4 k$

Langkah 2

Pisahkan penjumlahan untuk membuat nilai awal dari $k$ sama dengan $1$ .

$\sum_{k = 3}^{8} k^{2} - 4 k = \sum_{k = 1}^{8} k^{2} - 4 k - \sum_{k = 1}^{2} k^{2} - 4 k$

Langkah 3

Evaluasi $\sum_{k = 1}^{8} k^{2} - 4 k$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Pisahkan penjumlahannya menjadi penjumlahan yang lebih kecil yang sesuai dengan kaidah penjumlahan.

$\sum_{k = 1}^{8} k^{2} - 4 k = \sum_{k = 1}^{8} k^{2} - 4 \sum_{k = 1}^{8} k$

Langkah 3.2

Evaluasi $\sum_{k = 1}^{8} k^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Rumus untuk penjumlahan polinomial dengan derajat $2$ adalah:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Langkah 3.2.2

Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumusnya.

$\frac{8 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)}{6}$

Langkah 3.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $8$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1.1

Faktorkan $2$ dari $8 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)$ .

$\frac{2 (4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1))}{6}$

Langkah 3.2.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$\frac{2 (4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1))}{2 (3)}$

Langkah 3.2.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1))}{2 \cdot 3}$

Langkah 3.2.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)}{3}$

Langkah 3.2.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.2.1

Kalikan $2$ dengan $8$ .

$\frac{4 (8 + 1) (16 + 1)}{3}$

Langkah 3.2.3.2.2

Tambahkan $8$ dan $1$ .

$\frac{4 \cdot 9 (16 + 1)}{3}$

Langkah 3.2.3.2.3

Kalikan $4$ dengan $9$ .

$\frac{36 (16 + 1)}{3}$

Langkah 3.2.3.2.4

Tambahkan $16$ dan $1$ .

$\frac{36 \cdot 17}{3}$

Langkah 3.2.3.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.3.1

Kalikan $36$ dengan $17$ .

$\frac{612}{3}$

Langkah 3.2.3.3.2

Bagilah $612$ dengan $3$ .

$204$

Langkah 3.3

Evaluasi $4 \sum_{k = 1}^{8} k$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Rumus untuk penjumlahan polinomial dengan derajat $1$ adalah:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Langkah 3.3.2

Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumusnya dan pastikan untuk mengalikan dengan suku depannya.

$(- 4) (\frac{8 (8 + 1)}{2})$

Langkah 3.3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.1

Tambahkan $8$ dan $1$ .

$- 4 \frac{8 \cdot 9}{2}$

Langkah 3.3.3.1.2

Kalikan $8$ dengan $9$ .

$- 4 (\frac{72}{2})$

Langkah 3.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 4$ .

$2 (- 2) \frac{72}{2}$

Langkah 3.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot - 2 \frac{72}{2}$

Langkah 3.3.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 2 \cdot 72$

Langkah 3.3.3.3

Kalikan $- 2$ dengan $72$ .

$- 144$

Langkah 3.4

Jumlahkan hasil penjumlahan.

$204 - 144$

Langkah 3.5

Kurangi $144$ dengan $204$ .

$60$

Langkah 4

Evaluasi $\sum_{k = 1}^{2} k^{2} - 4 k$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Perluas barisan untuk setiap nilai dari $k$ .

$1^{2} - 4 \cdot 1 + 2^{2} - 4 \cdot 2$

Langkah 4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Naikkan $1$ menjadi pangkat $2$ .

$1 - 4 \cdot 1 + 2^{2} - 4 \cdot 2$

Langkah 4.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$1 - 4 + 2^{2} - 4 \cdot 2$

Langkah 4.2.3

Kurangi $4$ dengan $1$ .

$- 3 + 2^{2} - 4 \cdot 2$

Langkah 4.2.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$- 3 + 4 - 4 \cdot 2$

Langkah 4.2.5

Kalikan $- 4$ dengan $2$ .

$- 3 + 4 - 8$

Langkah 4.2.6

Kurangi $8$ dengan $4$ .

$- 3 - 4$

Langkah 4.2.7

Kurangi $4$ dengan $- 3$ .

$- 7$

Langkah 5

Substitusikan penjumlahannya dengan nilai yang ditemukan.

$60 + 7$

Langkah 6

Tambahkan $60$ dan $7$ .

$67$