Kalkulus Contoh

$y \cos (\frac{1}{y}) = 9 x + 9 y$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y \cos (\frac{1}{y})) = \frac{d}{d x} (9 x + 9 y)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = y$ dan $g (x) = \cos (\frac{1}{y})$ .

$y \frac{d}{d x} [\cos (\frac{1}{y})] + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = \frac{1}{y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{1}{y}$ .

$y (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]) + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.2.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$y (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]) + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{1}{y}$ .

$y (- \sin (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]) + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = 1$ dan $g (x) = y$ .

$y (- \sin (\frac{1}{y}) \frac{y \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}) + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$y (- \sin (\frac{1}{y}) \frac{y \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}) + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.4.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$y (- \sin (\frac{1}{y}) \frac{y \cdot 0 - \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}) + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.4.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.3.1

Kalikan $y$ dengan $0$ .

$y (- \sin (\frac{1}{y}) \frac{0 - \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}) + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.4.3.2

Kurangi $\frac{d}{d x} [y]$ dengan $0$ .

$y (- \sin (\frac{1}{y}) \frac{- \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}) + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.4.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y (- \sin (\frac{1}{y}) (- \frac{\frac{d}{d x} [y]}{y^{2}})) + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.4.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y (1 \sin (\frac{1}{y}) \frac{\frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}) + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.4.3.5

Kalikan $\sin (\frac{1}{y})$ dengan $1$ .

$y (\sin (\frac{1}{y}) \frac{\frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}) + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.5

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$y (\sin (\frac{1}{y}) \frac{y'}{y^{2}}) + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.6

Gabungkan $\sin (\frac{1}{y})$ dan $\frac{y'}{y^{2}}$ .

$y \frac{\sin (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}} + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.7

Gabungkan $y$ dan $\frac{\sin (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}}$ .

$\frac{y (\sin (\frac{1}{y}) y')}{y^{2}} + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.8

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Faktorkan $y$ dari $y^{2}$ .

$\frac{y (\sin (\frac{1}{y}) y')}{y \cdot y} + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.8.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y (\sin (\frac{1}{y}) y')}{y \cdot y} + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.8.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sin (\frac{1}{y}) y'}{y} + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.9

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{\sin (\frac{1}{y}) y'}{y} + \cos (\frac{1}{y}) y'$

Langkah 2.10

Susun kembali suku-suku.

$\cos (\frac{1}{y}) y' + \frac{\sin (\frac{1}{y}) y'}{y}$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $9 x + 9 y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [9 y]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [9 y]$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9 x$ terhadap $x$ adalah $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9 y]$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9 y]$

Langkah 3.2.3

Kalikan $9$ dengan $1$ .

$9 + \frac{d}{d x} [9 y]$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [9 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9 y$ terhadap $x$ adalah $9 \frac{d}{d x} [y]$ .

$9 + 9 \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.3.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$9 + 9 y'$

Langkah 3.4

Susun kembali suku-suku.

$9 y' + 9$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$\cos (\frac{1}{y}) y' + \frac{\sin (\frac{1}{y}) y'}{y} = 9 y' + 9$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$1, y, 1, 1$

Langkah 5.1.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$y$

Langkah 5.2

Kalikan setiap suku pada $\cos (\frac{1}{y}) y' + \frac{\sin (\frac{1}{y}) y'}{y} = 9 y' + 9$ dengan $y$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kalikan setiap suku dalam $\cos (\frac{1}{y}) y' + \frac{\sin (\frac{1}{y}) y'}{y} = 9 y' + 9$ dengan $y$ .

$\cos (\frac{1}{y}) y' y + \frac{\sin (\frac{1}{y}) y'}{y} y = 9 y' y + 9 y$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\cos (\frac{1}{y}) y' y + \frac{\sin (\frac{1}{y}) y'}{y} y = 9 y' y + 9 y$

Langkah 5.2.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\cos (\frac{1}{y}) y' y + \sin (\frac{1}{y}) y' = 9 y' y + 9 y$

Langkah 5.2.2.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $\cos (\frac{1}{y}) y' y + \sin (\frac{1}{y}) y'$ .

$y' y \cos (\frac{1}{y}) + y' \sin (\frac{1}{y}) = 9 y' y + 9 y$

Langkah 5.3

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Kurangkan $9 y' y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y' y \cos (\frac{1}{y}) + y' \sin (\frac{1}{y}) - 9 y' y = 9 y$

Langkah 5.3.2

Faktorkan $y'$ dari $y' y \cos (\frac{1}{y}) + y' \sin (\frac{1}{y}) - 9 y' y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Faktorkan $y'$ dari $y' y \cos (\frac{1}{y})$ .

$y' (y \cos (\frac{1}{y})) + y' (\sin (\frac{1}{y})) - 9 y' y = 9 y$

Langkah 5.3.2.2

Faktorkan $y'$ dari $y' \sin (\frac{1}{y})$ .

$y' (y \cos (\frac{1}{y})) + y' (\sin (\frac{1}{y})) - 9 y' y = 9 y$

Langkah 5.3.2.3

Faktorkan $y'$ dari $- 9 y' y$ .

$y' (y \cos (\frac{1}{y})) + y' (\sin (\frac{1}{y})) + y' (- 9 y) = 9 y$

Langkah 5.3.2.4

Faktorkan $y'$ dari $y' (y \cos (\frac{1}{y})) + y' (\sin (\frac{1}{y}))$ .

$y' (y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y})) + y' (- 9 y) = 9 y$

Langkah 5.3.2.5

Faktorkan $y'$ dari $y' (y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y})) + y' (- 9 y)$ .

$y' (y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y) = 9 y$

Langkah 5.3.3

Bagi setiap suku pada $y' (y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y) = 9 y$ dengan $y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Bagilah setiap suku di $y' (y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y) = 9 y$ dengan $y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y$ .

$\frac{y' (y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y)}{y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y} = \frac{9 y}{y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y}$

Langkah 5.3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y)}{y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y} = \frac{9 y}{y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y}$

Langkah 5.3.3.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{9 y}{y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{9 y}{y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y}$