Kalkulus Contoh

$y = \frac{8 x + 7}{\sqrt{x}}$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{8 x + 7}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{8 x + 7}{x^{\frac{1}{2}}})$

Langkah 3

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 4

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = 8 x + 7$ dan $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x + 7] - (8 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 4.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x + 7] - (8 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 4.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x + 7] - (8 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 4.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x + 7] - (8 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

Langkah 4.3

Sederhanakan.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x + 7] - (8 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Langkah 4.4

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $8 x + 7$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [7]) - (8 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Langkah 4.5

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8 x$ terhadap $x$ adalah $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]) - (8 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Langkah 4.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]) - (8 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Langkah 4.7

Kalikan $8$ dengan $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (8 + \frac{d}{d x} [7]) - (8 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Langkah 4.8

Karena $7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $7$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (8 + 0) - (8 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Langkah 4.9

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.1

Tambahkan $8$ dan $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 8 - (8 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Langkah 4.9.2

Pindahkan $8$ ke sebelah kiri $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{8 \cdot x^{\frac{1}{2}} - (8 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Langkah 4.10

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - (8 x + 7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{x}$

Langkah 4.11

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - (8 x + 7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x}$

Langkah 4.12

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - (8 x + 7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Langkah 4.13

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - (8 x + 7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Langkah 4.14

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.14.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - (8 x + 7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{x}$

Langkah 4.14.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - (8 x + 7) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{x}$

Langkah 4.15

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - (8 x + 7) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{x}$

Langkah 4.16

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - (8 x + 7) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{x}$

Langkah 4.17

Pindahkan $x^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - (8 x + 7) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Langkah 4.18

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.18.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + (- (8 x) - 1 \cdot 7) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Langkah 4.18.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - (8 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Langkah 4.18.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.18.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.18.3.1.1

Kalikan $8$ dengan $- 1$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - 8 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Langkah 4.18.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.18.3.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 8 x$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- 4 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Langkah 4.18.3.1.2.2

Faktorkan $2$ dari $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- 4 x) \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}})} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Langkah 4.18.3.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- 4 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Langkah 4.18.3.1.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - 4 x \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Langkah 4.18.3.1.3

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + x \frac{- 4}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Langkah 4.18.3.1.4

Gabungkan $x$ dan $\frac{- 4}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot - 4}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Langkah 4.18.3.1.5

Pindahkan $x^{\frac{1}{2}}$ ke pembilang menggunakan aturan eksponen negatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + x \cdot - 4 x^{- \frac{1}{2}} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Langkah 4.18.3.1.6

Kalikan $x$ dengan $x^{- \frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.18.3.1.6.1

Pindahkan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} x \cdot - 4 - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Langkah 4.18.3.1.6.2

Kalikan $x^{- \frac{1}{2}}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.18.3.1.6.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} x^{1} \cdot - 4 - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Langkah 4.18.3.1.6.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2} + 1} \cdot - 4 - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Langkah 4.18.3.1.6.3

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \cdot - 4 - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Langkah 4.18.3.1.6.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{- 1 + 2}{2}} \cdot - 4 - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Langkah 4.18.3.1.6.5

Tambahkan $- 1$ dan $2$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 4 - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Langkah 4.18.3.1.7

Pindahkan $- 4$ ke sebelah kiri $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Langkah 4.18.3.1.8

Kalikan $- 1$ dengan $7$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - 4 x^{\frac{1}{2}} - 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Langkah 4.18.3.1.9

Gabungkan $- 7$ dan $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Langkah 4.18.3.1.10

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Langkah 4.18.3.2

Kurangi $4 x^{\frac{1}{2}}$ dengan $8 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Langkah 4.18.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.18.4.1

Untuk menuliskan $4 x^{\frac{1}{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Langkah 4.18.4.2

Gabungkan $4 x^{\frac{1}{2}}$ dan $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{4 x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Langkah 4.18.4.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\frac{4 x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}}) - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Langkah 4.18.4.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.18.4.4.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{\frac{4 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Langkah 4.18.4.4.2

Kalikan $x^{\frac{1}{2}}$ dengan $x^{\frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.18.4.4.2.1

Pindahkan $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{4 \cdot 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Langkah 4.18.4.4.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{4 \cdot 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Langkah 4.18.4.4.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\frac{4 \cdot 2 x^{\frac{1 + 1}{2}} - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Langkah 4.18.4.4.2.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\frac{4 \cdot 2 x^{\frac{2}{2}} - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Langkah 4.18.4.4.2.5

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$\frac{\frac{4 \cdot 2 x^{1} - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Langkah 4.18.4.4.3

Sederhanakan $4 \cdot 2 x^{1}$ .

$\frac{\frac{4 \cdot 2 x - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Langkah 4.18.4.4.4

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$\frac{\frac{8 x - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Langkah 4.18.5

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{8 x - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$

Langkah 4.18.6

Kalikan $\frac{8 x - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.18.6.1

Kalikan $\frac{8 x - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{8 x - 7}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Langkah 4.18.6.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{8 x - 7}{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}$

Langkah 4.18.6.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{8 x - 7}{2 x^{1 + \frac{1}{2}}}$

Langkah 4.18.6.4

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{8 x - 7}{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Langkah 4.18.6.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{8 x - 7}{2 x^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Langkah 4.18.6.6

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\frac{8 x - 7}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 5

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = \frac{8 x - 7}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 x - 7}{2 x^{\frac{3}{2}}}$