Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 1} \frac{- x^{4} - 5 x^{2} + 6}{x^{3} + x^{2} - x - 1}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 1} - x^{4} - 5 x^{2} + 6}{lim_{x \to 1} x^{3} + x^{2} - x - 1}$

Langkah 1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $1$ .

$\frac{- lim_{x \to 1} x^{4} - lim_{x \to 1} 5 x^{2} + lim_{x \to 1} 6}{lim_{x \to 1} x^{3} + x^{2} - x - 1}$

Langkah 1.2.2

Pindahkan pangkat $4$ dari $x^{4}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{- {(lim_{x \to 1} x)}^{4} - lim_{x \to 1} 5 x^{2} + lim_{x \to 1} 6}{lim_{x \to 1} x^{3} + x^{2} - x - 1}$

Langkah 1.2.3

Pindahkan suku $5$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{- {(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 5 lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} 6}{lim_{x \to 1} x^{3} + x^{2} - x - 1}$

Langkah 1.2.4

Pindahkan pangkat $2$ dari $x^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{- {(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 5 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} 6}{lim_{x \to 1} x^{3} + x^{2} - x - 1}$

Langkah 1.2.5

Evaluasi limit dari $6$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $1$ .

$\frac{- {(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 5 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 6}{lim_{x \to 1} x^{3} + x^{2} - x - 1}$

Langkah 1.2.6

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $1$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $1$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{- 1^{4} - 5 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 6}{lim_{x \to 1} x^{3} + x^{2} - x - 1}$

Langkah 1.2.6.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $1$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{- 1^{4} - 5 \cdot 1^{2} + 6}{lim_{x \to 1} x^{3} + x^{2} - x - 1}$

Langkah 1.2.7

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{- 1 \cdot 1 - 5 \cdot 1^{2} + 6}{lim_{x \to 1} x^{3} + x^{2} - x - 1}$

Langkah 1.2.7.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{- 1 - 5 \cdot 1^{2} + 6}{lim_{x \to 1} x^{3} + x^{2} - x - 1}$

Langkah 1.2.7.1.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{- 1 - 5 \cdot 1 + 6}{lim_{x \to 1} x^{3} + x^{2} - x - 1}$

Langkah 1.2.7.1.4

Kalikan $- 5$ dengan $1$ .

$\frac{- 1 - 5 + 6}{lim_{x \to 1} x^{3} + x^{2} - x - 1}$

Langkah 1.2.7.2

Kurangi $5$ dengan $- 1$ .

$\frac{- 6 + 6}{lim_{x \to 1} x^{3} + x^{2} - x - 1}$

Langkah 1.2.7.3

Tambahkan $- 6$ dan $6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{3} + x^{2} - x - 1}$

Langkah 1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{3} + lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Langkah 1.3.2

Pindahkan pangkat $3$ dari $x^{3}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} + lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Langkah 1.3.3

Pindahkan pangkat $2$ dari $x^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} + {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Langkah 1.3.4

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} + {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Langkah 1.3.5

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $1$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.5.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $1$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{1^{3} + {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Langkah 1.3.5.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $1$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{1^{3} + 1^{2} - lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Langkah 1.3.5.3

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $1$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{1^{3} + 1^{2} - 1 - 1 \cdot 1}$

Langkah 1.3.6

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.6.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.6.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{0}{1 + 1^{2} - 1 - 1 \cdot 1}$

Langkah 1.3.6.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{0}{1 + 1 - 1 - 1 \cdot 1}$

Langkah 1.3.6.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{0}{1 + 1 - 1 - 1}$

Langkah 1.3.6.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{0}{2 - 1 - 1}$

Langkah 1.3.6.3

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Langkah 1.3.6.4

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.6.5

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.7

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 1} \frac{- x^{4} - 5 x^{2} + 6}{x^{3} + x^{2} - x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [- x^{4} - 5 x^{2} + 6]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - x - 1]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [- x^{4} - 5 x^{2} + 6]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - x - 1]}$

Langkah 3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- x^{4} - 5 x^{2} + 6$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - x - 1]}$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{4}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - x - 1]}$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - x - 1]}$

Langkah 3.3.3

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - x - 1]}$

Langkah 3.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Karena $- 5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 4 x^{3} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - x - 1]}$

Langkah 3.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 4 x^{3} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - x - 1]}$

Langkah 3.4.3

Kalikan $2$ dengan $- 5$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 4 x^{3} - 10 x + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - x - 1]}$

Langkah 3.5

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 4 x^{3} - 10 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - x - 1]}$

Langkah 3.6

Tambahkan $- 4 x^{3} - 10 x$ dan $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 4 x^{3} - 10 x}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - x - 1]}$

Langkah 3.7

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} + x^{2} - x - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 4 x^{3} - 10 x}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Langkah 3.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 4 x^{3} - 10 x}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Langkah 3.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 4 x^{3} - 10 x}{3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Langkah 3.10

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 4 x^{3} - 10 x}{3 x^{2} + 2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Langkah 3.10.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 4 x^{3} - 10 x}{3 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Langkah 3.10.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 4 x^{3} - 10 x}{3 x^{2} + 2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Langkah 3.11

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 4 x^{3} - 10 x}{3 x^{2} + 2 x - 1 + 0}$

Langkah 3.12

Tambahkan $3 x^{2} + 2 x - 1$ dan $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 4 x^{3} - 10 x}{3 x^{2} + 2 x - 1}$

Langkah 4

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} - 4 x^{3} - 10 x}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} + 2 x - 1}$

Langkah 5

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $1$ .

$\frac{- lim_{x \to 1} 4 x^{3} - lim_{x \to 1} 10 x}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} + 2 x - 1}$

Langkah 6

Pindahkan suku $4$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{- 4 lim_{x \to 1} x^{3} - lim_{x \to 1} 10 x}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} + 2 x - 1}$

Langkah 7

Pindahkan pangkat $3$ dari $x^{3}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{- 4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} 10 x}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} + 2 x - 1}$

Langkah 8

Pindahkan suku $10$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{- 4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 10 lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} + 2 x - 1}$

Langkah 9

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $1$ .

$\frac{- 4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 10 lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} + lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 1}$

Langkah 10

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{- 4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 10 lim_{x \to 1} x}{3 lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 1}$

Langkah 11

Pindahkan pangkat $2$ dari $x^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{- 4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 10 lim_{x \to 1} x}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 1}$

Langkah 12

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{- 4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 10 lim_{x \to 1} x}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Langkah 13

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $1$ .

$\frac{- 4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 10 lim_{x \to 1} x}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Langkah 14

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $1$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $1$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{- 4 \cdot 1^{3} - 10 lim_{x \to 1} x}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Langkah 14.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $1$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{- 4 \cdot 1^{3} - 10 \cdot 1}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Langkah 14.3

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $1$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{- 4 \cdot 1^{3} - 10 \cdot 1}{3 \cdot 1^{2} + 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Langkah 14.4

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $1$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{- 4 \cdot 1^{3} - 10 \cdot 1}{3 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Langkah 15

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{- 4 \cdot 1 - 10 \cdot 1}{3 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Langkah 15.1.2

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$\frac{- 4 - 10 \cdot 1}{3 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Langkah 15.1.3

Kalikan $- 10$ dengan $1$ .

$\frac{- 4 - 10}{3 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Langkah 15.1.4

Kurangi $10$ dengan $- 4$ .

$\frac{- 14}{3 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Langkah 15.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{- 14}{3 \cdot 1 + 2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Langkah 15.2.2

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{- 14}{3 + 2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Langkah 15.2.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{- 14}{3 + 2 - 1 \cdot 1}$

Langkah 15.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{- 14}{3 + 2 - 1}$

Langkah 15.2.5

Tambahkan $3$ dan $2$ .

$\frac{- 14}{5 - 1}$

Langkah 15.2.6

Kurangi $1$ dengan $5$ .

$\frac{- 14}{4}$

Langkah 15.3

Hapus faktor persekutuan dari $- 14$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.3.1

Faktorkan $2$ dari $- 14$ .

$\frac{2 (- 7)}{4}$

Langkah 15.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{2 \cdot - 7}{2 \cdot 2}$

Langkah 15.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot - 7}{2 \cdot 2}$

Langkah 15.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 7}{2}$

Langkah 15.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{7}{2}$