Kalkulus Contoh

$\frac{x^{4} + 6 y^{5}}{x^{5} + y^{6}}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ adalah $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ di mana $f (y) = x^{4} + 6 y^{5}$ dan $g (y) = x^{5} + y^{6}$ .

$\frac{(x^{5} + y^{6}) \frac{d}{d y} [x^{4} + 6 y^{5}] - (x^{4} + 6 y^{5}) \frac{d}{d y} [x^{5} + y^{6}]}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Langkah 2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{4} + 6 y^{5}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x^{4}] + \frac{d}{d y} [6 y^{5}]$ .

$\frac{(x^{5} + y^{6}) (\frac{d}{d y} [x^{4}] + \frac{d}{d y} [6 y^{5}]) - (x^{4} + 6 y^{5}) \frac{d}{d y} [x^{5} + y^{6}]}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Langkah 2.2

Karena $x^{4}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x^{4}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{(x^{5} + y^{6}) (0 + \frac{d}{d y} [6 y^{5}]) - (x^{4} + 6 y^{5}) \frac{d}{d y} [x^{5} + y^{6}]}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Langkah 2.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d y} [6 y^{5}]$ .

$\frac{(x^{5} + y^{6}) \frac{d}{d y} [6 y^{5}] - (x^{4} + 6 y^{5}) \frac{d}{d y} [x^{5} + y^{6}]}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Langkah 2.4

Karena $6$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $6 y^{5}$ terhadap $y$ adalah $6 \frac{d}{d y} [y^{5}]$ .

$\frac{(x^{5} + y^{6}) (6 \frac{d}{d y} [y^{5}]) - (x^{4} + 6 y^{5}) \frac{d}{d y} [x^{5} + y^{6}]}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Langkah 2.5

Pindahkan $6$ ke sebelah kiri $x^{5} + y^{6}$ .

$\frac{6 \cdot (x^{5} + y^{6}) \frac{d}{d y} [y^{5}] - (x^{4} + 6 y^{5}) \frac{d}{d y} [x^{5} + y^{6}]}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Langkah 2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$\frac{6 (x^{5} + y^{6}) (5 y^{4}) - (x^{4} + 6 y^{5}) \frac{d}{d y} [x^{5} + y^{6}]}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Langkah 2.7

Kalikan $5$ dengan $6$ .

$\frac{30 (x^{5} + y^{6}) y^{4} - (x^{4} + 6 y^{5}) \frac{d}{d y} [x^{5} + y^{6}]}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Langkah 2.8

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{5} + y^{6}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x^{5}] + \frac{d}{d y} [y^{6}]$ .

$\frac{30 (x^{5} + y^{6}) y^{4} - (x^{4} + 6 y^{5}) (\frac{d}{d y} [x^{5}] + \frac{d}{d y} [y^{6}])}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Langkah 2.9

Karena $x^{5}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x^{5}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{30 (x^{5} + y^{6}) y^{4} - (x^{4} + 6 y^{5}) (0 + \frac{d}{d y} [y^{6}])}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Langkah 2.10

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d y} [y^{6}]$ .

$\frac{30 (x^{5} + y^{6}) y^{4} - (x^{4} + 6 y^{5}) \frac{d}{d y} [y^{6}]}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Langkah 2.11

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 6$ .

$\frac{30 (x^{5} + y^{6}) y^{4} - (x^{4} + 6 y^{5}) (6 y^{5})}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Langkah 2.12

Kalikan $6$ dengan $- 1$ .

$\frac{30 (x^{5} + y^{6}) y^{4} - 6 (x^{4} + 6 y^{5}) y^{5}}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(30 x^{5} + 30 y^{6}) y^{4} - 6 (x^{4} + 6 y^{5}) y^{5}}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Langkah 3.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{30 x^{5} y^{4} + 30 y^{6} y^{4} - 6 (x^{4} + 6 y^{5}) y^{5}}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Langkah 3.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{30 x^{5} y^{4} + 30 y^{6} y^{4} + (- 6 x^{4} - 6 (6 y^{5})) y^{5}}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Langkah 3.4

Terapkan sifat distributif.

$\frac{30 x^{5} y^{4} + 30 y^{6} y^{4} - 6 x^{4} y^{5} - 6 (6 y^{5}) y^{5}}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Langkah 3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1.1

Kalikan $y^{6}$ dengan $y^{4}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1.1.1

Pindahkan $y^{4}$ .

$\frac{30 x^{5} y^{4} + 30 (y^{4} y^{6}) - 6 x^{4} y^{5} - 6 (6 y^{5}) y^{5}}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Langkah 3.5.1.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{30 x^{5} y^{4} + 30 y^{4 + 6} - 6 x^{4} y^{5} - 6 (6 y^{5}) y^{5}}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Langkah 3.5.1.1.3

Tambahkan $4$ dan $6$ .

$\frac{30 x^{5} y^{4} + 30 y^{10} - 6 x^{4} y^{5} - 6 (6 y^{5}) y^{5}}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Langkah 3.5.1.2

Kalikan $y^{5}$ dengan $y^{5}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1.2.1

Pindahkan $y^{5}$ .

$\frac{30 x^{5} y^{4} + 30 y^{10} - 6 x^{4} y^{5} - 6 (6 (y^{5} y^{5}))}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Langkah 3.5.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{30 x^{5} y^{4} + 30 y^{10} - 6 x^{4} y^{5} - 6 (6 y^{5 + 5})}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Langkah 3.5.1.2.3

Tambahkan $5$ dan $5$ .

$\frac{30 x^{5} y^{4} + 30 y^{10} - 6 x^{4} y^{5} - 6 (6 y^{10})}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Langkah 3.5.1.3

Kalikan $6$ dengan $- 6$ .

$\frac{30 x^{5} y^{4} + 30 y^{10} - 6 x^{4} y^{5} - 36 y^{10}}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Langkah 3.5.2

Kurangi $36 y^{10}$ dengan $30 y^{10}$ .

$\frac{30 x^{5} y^{4} - 6 y^{10} - 6 x^{4} y^{5}}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Langkah 3.6

Susun kembali suku-suku.

$\frac{- 6 y^{10} + 30 x^{5} y^{4} - 6 y^{5} x^{4}}{{(y^{6} + x^{5})}^{2}}$

Langkah 3.7

Faktorkan $6 y^{4}$ dari $- 6 y^{10} + 30 x^{5} y^{4} - 6 y^{5} x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Faktorkan $6 y^{4}$ dari $- 6 y^{10}$ .

$\frac{6 y^{4} (- y^{6}) + 30 x^{5} y^{4} - 6 y^{5} x^{4}}{{(y^{6} + x^{5})}^{2}}$

Langkah 3.7.2

Faktorkan $6 y^{4}$ dari $30 x^{5} y^{4}$ .

$\frac{6 y^{4} (- y^{6}) + 6 y^{4} (5 x^{5}) - 6 y^{5} x^{4}}{{(y^{6} + x^{5})}^{2}}$

Langkah 3.7.3

Faktorkan $6 y^{4}$ dari $- 6 y^{5} x^{4}$ .

$\frac{6 y^{4} (- y^{6}) + 6 y^{4} (5 x^{5}) + 6 y^{4} (- y x^{4})}{{(y^{6} + x^{5})}^{2}}$

Langkah 3.7.4

Faktorkan $6 y^{4}$ dari $6 y^{4} (- y^{6}) + 6 y^{4} (5 x^{5})$ .

$\frac{6 y^{4} (- y^{6} + 5 x^{5}) + 6 y^{4} (- y x^{4})}{{(y^{6} + x^{5})}^{2}}$

Langkah 3.7.5

Faktorkan $6 y^{4}$ dari $6 y^{4} (- y^{6} + 5 x^{5}) + 6 y^{4} (- y x^{4})$ .

$\frac{6 y^{4} (- y^{6} + 5 x^{5} - y x^{4})}{{(y^{6} + x^{5})}^{2}}$

Langkah 3.8

Faktorkan $- 1$ dari $- y^{6}$ .

$\frac{6 y^{4} (- (y^{6}) + 5 x^{5} - y x^{4})}{{(y^{6} + x^{5})}^{2}}$

Langkah 3.9

Faktorkan $- 1$ dari $5 x^{5}$ .

$\frac{6 y^{4} (- (y^{6}) - (- 5 x^{5}) - y x^{4})}{{(y^{6} + x^{5})}^{2}}$

Langkah 3.10

Faktorkan $- 1$ dari $- (y^{6}) - (- 5 x^{5})$ .

$\frac{6 y^{4} (- (y^{6} - 5 x^{5}) - y x^{4})}{{(y^{6} + x^{5})}^{2}}$

Langkah 3.11

Faktorkan $- 1$ dari $- y x^{4}$ .

$\frac{6 y^{4} (- (y^{6} - 5 x^{5}) - (y x^{4}))}{{(y^{6} + x^{5})}^{2}}$

Langkah 3.12

Faktorkan $- 1$ dari $- (y^{6} - 5 x^{5}) - (y x^{4})$ .

$\frac{6 y^{4} (- (y^{6} - 5 x^{5} + y x^{4}))}{{(y^{6} + x^{5})}^{2}}$

Langkah 3.13

Tulis kembali $- (y^{6} - 5 x^{5} + y x^{4})$ sebagai $- 1 (y^{6} - 5 x^{5} + y x^{4})$ .

$\frac{6 y^{4} (- 1 (y^{6} - 5 x^{5} + y x^{4}))}{{(y^{6} + x^{5})}^{2}}$

Langkah 3.14

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{(6 y^{4}) (y^{6} - 5 x^{5} + y x^{4})}{{(y^{6} + x^{5})}^{2}}$

Langkah 3.15

Susun kembali faktor-faktor dalam $- \frac{(6 y^{4}) (y^{6} - 5 x^{5} + y x^{4})}{{(y^{6} + x^{5})}^{2}}$ .

$- \frac{6 y^{4} (y^{6} - 5 x^{5} + y x^{4})}{{(y^{6} + x^{5})}^{2}}$