Kalkulus Contoh

$x \sqrt{y} = 1$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{y}$ sebagai $y^{\frac{1}{2}}$ .

$x y^{\frac{1}{2}} = 1$

Langkah 2

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}] + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$x (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$x (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$x (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.8

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.9

Pindahkan $y^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.10

Gabungkan $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ dan $x$ .

$\frac{x}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y] + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.11

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{x}{2 y^{\frac{1}{2}}} y' + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.12

Gabungkan $\frac{x}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ dan $y'$ .

$\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.13

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + y^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Langkah 3.14

Kalikan $y^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + y^{\frac{1}{2}}$

Langkah 4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 5

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + y^{\frac{1}{2}} = 0$

Langkah 6

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tentukan faktor persekutuan $y^{\frac{1}{2}}$ yang ada dalam setiap suku.

$\frac{1}{2 {(x {y'}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + y^{\frac{1}{2}}$

Langkah 6.2

Substitusikan $u$ untuk $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 {(x {y'}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + u = 0$

Langkah 6.3

Selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $x {y'}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 x^{2} {({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + u = 0$

Langkah 6.3.1.2

Kalikan eksponen dalam ${({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 x^{2} {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + u = 0$

Langkah 6.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2 x^{2} {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + u = 0$

Langkah 6.3.1.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2 x^{2} {y'}^{1}} + u = 0$

Langkah 6.3.1.3

Sederhanakan.

$\frac{1}{2 x^{2} y'} + u = 0$

Langkah 6.3.2

Kurangkan $\frac{1}{2 x^{2} y'}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$u = - \frac{1}{2 x^{2} y'}$

Langkah 6.4

Substitusikan $y'$ untuk $u$ .

$y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x^{2} y'}$

Langkah 6.5

Kurangkan $y^{\frac{1}{2}}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = - y^{\frac{1}{2}}$

Langkah 6.6

Kalikan kedua ruas dengan $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}}) = - y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.1.1

Sederhanakan $\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.1.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$2 \frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.7.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.7.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.7.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.1.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.7.1.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x y' = - y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.7.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.2.1

Sederhanakan $- y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.2.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$x y' = - 1 \cdot 2 y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$

Langkah 6.7.2.1.2

Kalikan $y^{\frac{1}{2}}$ dengan $y^{\frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.2.1.2.1

Pindahkan $y^{\frac{1}{2}}$ .

$x y' = - 1 \cdot 2 (y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.7.2.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x y' = - 1 \cdot 2 y^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}$

Langkah 6.7.2.1.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x y' = - 1 \cdot 2 y^{\frac{1 + 1}{2}}$

Langkah 6.7.2.1.2.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$x y' = - 1 \cdot 2 y^{\frac{2}{2}}$

Langkah 6.7.2.1.2.5

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$x y' = - 1 \cdot 2 y^{1}$

Langkah 6.7.2.1.3

Sederhanakan $- 1 \cdot 2 y^{1}$ .

$x y' = - 1 \cdot 2 y$

Langkah 6.7.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$x y' = - 2 y$

Langkah 6.8

Bagi setiap suku pada $x y' = - 2 y$ dengan $x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.1

Bagilah setiap suku di $x y' = - 2 y$ dengan $x$ .

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 2 y}{x}$

Langkah 6.8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 2 y}{x}$

Langkah 6.8.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 2 y}{x}$

Langkah 6.8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{2 y}{x}$

Langkah 7

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y}{x}$