Kalkulus Contoh

${(x + y^{2})}^{10} = 3 x^{2} + 7$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} ({(x + y^{2})}^{10}) = \frac{d}{d x} (3 x^{2} + 7)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{10}$ dan $g (x) = x + y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $x + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{10}] \frac{d}{d x} [x + y^{2}]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 10$ .

$10 {u_{1}}^{9} \frac{d}{d x} [x + y^{2}]$

Langkah 2.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x + y^{2}$ .

$10 {(x + y^{2})}^{9} \frac{d}{d x} [x + y^{2}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + y^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$10 {(x + y^{2})}^{9} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$10 {(x + y^{2})}^{9} (1 + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $y$ .

$10 {(x + y^{2})}^{9} (1 + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$10 {(x + y^{2})}^{9} (1 + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $y$ .

$10 {(x + y^{2})}^{9} (1 + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.4

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$10 {(x + y^{2})}^{9} (1 + 2 y y')$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x^{2} + 7$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [7]$

Langkah 3.2.3

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [7]$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $7$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$6 x + 0$

Langkah 3.3.2

Tambahkan $6 x$ dan $0$ .

$6 x$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$10 {(x + y^{2})}^{9} (1 + 2 y y') = 6 x$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagi setiap suku pada $10 {(x + y^{2})}^{9} (1 + 2 y y') = 6 x$ dengan $10 {(x + y^{2})}^{9}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Bagilah setiap suku di $10 {(x + y^{2})}^{9} (1 + 2 y y') = 6 x$ dengan $10 {(x + y^{2})}^{9}$ .

$\frac{10 {(x + y^{2})}^{9} (1 + 2 y y')}{10 {(x + y^{2})}^{9}} = \frac{6 x}{10 {(x + y^{2})}^{9}}$

Langkah 5.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{10 {(x + y^{2})}^{9} (1 + 2 y y')}{10 {(x + y^{2})}^{9}} = \frac{6 x}{10 {(x + y^{2})}^{9}}$

Langkah 5.1.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{{(x + y^{2})}^{9} (1 + 2 y y')}{{(x + y^{2})}^{9}} = \frac{6 x}{10 {(x + y^{2})}^{9}}$

Langkah 5.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari ${(x + y^{2})}^{9}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{{(x + y^{2})}^{9} (1 + 2 y y')}{{(x + y^{2})}^{9}} = \frac{6 x}{10 {(x + y^{2})}^{9}}$

Langkah 5.1.2.2.2

Bagilah $1 + 2 y y'$ dengan $1$ .

$1 + 2 y y' = \frac{6 x}{10 {(x + y^{2})}^{9}}$

Langkah 5.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1.1

Faktorkan $2$ dari $6 x$ .

$1 + 2 y y' = \frac{2 (3 x)}{10 {(x + y^{2})}^{9}}$

Langkah 5.1.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $10 {(x + y^{2})}^{9}$ .

$1 + 2 y y' = \frac{2 (3 x)}{2 (5 {(x + y^{2})}^{9})}$

Langkah 5.1.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$1 + 2 y y' = \frac{2 (3 x)}{2 (5 {(x + y^{2})}^{9})}$

Langkah 5.1.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$1 + 2 y y' = \frac{3 x}{5 {(x + y^{2})}^{9}}$

Langkah 5.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 y y' = \frac{3 x}{5 {(x + y^{2})}^{9}} - 1$

Langkah 5.3

Bagi setiap suku pada $2 y y' = \frac{3 x}{5 {(x + y^{2})}^{9}} - 1$ dengan $2 y$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Bagilah setiap suku di $2 y y' = \frac{3 x}{5 {(x + y^{2})}^{9}} - 1$ dengan $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{3 x}{5 {(x + y^{2})}^{9}}}{2 y} + \frac{- 1}{2 y}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{3 x}{5 {(x + y^{2})}^{9}}}{2 y} + \frac{- 1}{2 y}$

Langkah 5.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{3 x}{5 {(x + y^{2})}^{9}}}{2 y} + \frac{- 1}{2 y}$

Langkah 5.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{3 x}{5 {(x + y^{2})}^{9}}}{2 y} + \frac{- 1}{2 y}$

Langkah 5.3.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{\frac{3 x}{5 {(x + y^{2})}^{9}}}{2 y} + \frac{- 1}{2 y}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{\frac{3 x}{5 {(x + y^{2})}^{9}} - 1}{2 y}$

Langkah 5.3.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.1

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5 {(x + y^{2})}^{9}}{5 {(x + y^{2})}^{9}}$ .

$y' = \frac{\frac{3 x}{5 {(x + y^{2})}^{9}} - 1 \cdot \frac{5 {(x + y^{2})}^{9}}{5 {(x + y^{2})}^{9}}}{2 y}$

Langkah 5.3.3.2.2

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{5 {(x + y^{2})}^{9}}{5 {(x + y^{2})}^{9}}$ .

$y' = \frac{\frac{3 x}{5 {(x + y^{2})}^{9}} + \frac{- (5 {(x + y^{2})}^{9})}{5 {(x + y^{2})}^{9}}}{2 y}$

Langkah 5.3.3.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{\frac{3 x - (5 {(x + y^{2})}^{9})}{5 {(x + y^{2})}^{9}}}{2 y}$

Langkah 5.3.3.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $5$ .

$y' = \frac{\frac{3 x - 5 {(x + y^{2})}^{9}}{5 {(x + y^{2})}^{9}}}{2 y}$

Langkah 5.3.3.3

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y' = \frac{3 x - 5 {(x + y^{2})}^{9}}{5 {(x + y^{2})}^{9}} \cdot \frac{1}{2 y}$

Langkah 5.3.3.4

Kalikan $\frac{3 x - 5 {(x + y^{2})}^{9}}{5 {(x + y^{2})}^{9}} \cdot \frac{1}{2 y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.4.1

Kalikan $\frac{3 x - 5 {(x + y^{2})}^{9}}{5 {(x + y^{2})}^{9}}$ dengan $\frac{1}{2 y}$ .

$y' = \frac{3 x - 5 {(x + y^{2})}^{9}}{5 {(x + y^{2})}^{9} (2 y)}$

Langkah 5.3.3.4.2

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$y' = \frac{3 x - 5 {(x + y^{2})}^{9}}{10 {(x + y^{2})}^{9} y}$

Langkah 5.3.3.5

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{3 x - 5 {(x + y^{2})}^{9}}{10 {(x + y^{2})}^{9} y}$ .

$y' = \frac{3 x - 5 {(x + y^{2})}^{9}}{10 y {(x + y^{2})}^{9}}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x - 5 {(x + y^{2})}^{9}}{10 y {(x + y^{2})}^{9}}$