Kalkulus Contoh

$\sum_{4}^{18} {(n + 1)}^{2}$

Langkah 1

Sederhanakan penjumlahannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali ${(n + 1)}^{2}$ sebagai $(n + 1) (n + 1)$ .

$(n + 1) (n + 1)$

Langkah 1.2

Perluas $(n + 1) (n + 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$n (n + 1) + 1 (n + 1)$

Langkah 1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$n \cdot n + n \cdot 1 + 1 (n + 1)$

Langkah 1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$n \cdot n + n \cdot 1 + 1 n + 1 \cdot 1$

Langkah 1.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Kalikan $n$ dengan $n$ .

$n^{2} + n \cdot 1 + 1 n + 1 \cdot 1$

Langkah 1.3.1.2

Kalikan $n$ dengan $1$ .

$n^{2} + n + 1 n + 1 \cdot 1$

Langkah 1.3.1.3

Kalikan $n$ dengan $1$ .

$n^{2} + n + n + 1 \cdot 1$

Langkah 1.3.1.4

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$n^{2} + n + n + 1$

Langkah 1.3.2

Tambahkan $n$ dan $n$ .

$n^{2} + 2 n + 1$

Langkah 1.4

Tulis kembali penjumlahannya.

$\sum_{n = 4}^{18} n^{2} + 2 n + 1$

Langkah 2

Pisahkan penjumlahan untuk membuat nilai awal dari $n$ sama dengan $1$ .

$\sum_{n = 4}^{18} n^{2} + 2 n + 1 = \sum_{n = 1}^{18} n^{2} + 2 n + 1 - \sum_{n = 1}^{3} n^{2} + 2 n + 1$

Langkah 3

Evaluasi $\sum_{n = 1}^{18} n^{2} + 2 n + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Pisahkan penjumlahannya menjadi penjumlahan yang lebih kecil yang sesuai dengan kaidah penjumlahan.

$\sum_{n = 1}^{18} n^{2} + 2 n + 1 = \sum_{n = 1}^{18} n^{2} + 2 \sum_{n = 1}^{18} n + \sum_{n = 1}^{18} 1$

Langkah 3.2

Evaluasi $\sum_{n = 1}^{18} n^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Rumus untuk penjumlahan polinomial dengan derajat $2$ adalah:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Langkah 3.2.2

Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumusnya.

$\frac{18 (18 + 1) (2 \cdot 18 + 1)}{6}$

Langkah 3.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $18$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1.1

Faktorkan $6$ dari $18 (18 + 1) (2 \cdot 18 + 1)$ .

$\frac{6 (3 (18 + 1) (2 \cdot 18 + 1))}{6}$

Langkah 3.2.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1.2.1

Faktorkan $6$ dari $6$ .

$\frac{6 (3 (18 + 1) (2 \cdot 18 + 1))}{6 (1)}$

Langkah 3.2.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{6 (3 (18 + 1) (2 \cdot 18 + 1))}{6 \cdot 1}$

Langkah 3.2.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3 (18 + 1) (2 \cdot 18 + 1)}{1}$

Langkah 3.2.3.1.2.4

Bagilah $3 (18 + 1) (2 \cdot 18 + 1)$ dengan $1$ .

$3 (18 + 1) (2 \cdot 18 + 1)$

Langkah 3.2.3.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.2.1

Tambahkan $18$ dan $1$ .

$3 \cdot 19 (2 \cdot 18 + 1)$

Langkah 3.2.3.2.2

Kalikan $3$ dengan $19$ .

$57 (2 \cdot 18 + 1)$

Langkah 3.2.3.2.3

Kalikan $2$ dengan $18$ .

$57 (36 + 1)$

Langkah 3.2.3.2.4

Tambahkan $36$ dan $1$ .

$57 \cdot 37$

Langkah 3.2.3.2.5

Kalikan $57$ dengan $37$ .

$2109$

Langkah 3.3

Evaluasi $2 \sum_{n = 1}^{18} n$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Rumus untuk penjumlahan polinomial dengan derajat $1$ adalah:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Langkah 3.3.2

Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumusnya dan pastikan untuk mengalikan dengan suku depannya.

$(2) (\frac{18 (18 + 1)}{2})$

Langkah 3.3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.1

Tambahkan $18$ dan $1$ .

$2 \frac{18 \cdot 19}{2}$

Langkah 3.3.3.1.2

Kalikan $18$ dengan $19$ .

$2 (\frac{342}{2})$

Langkah 3.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 (\frac{342}{2})$

Langkah 3.3.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$342$

Langkah 3.4

Evaluasi $\sum_{n = 1}^{18} 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Rumus untuk penjumlahan konstanta adalah:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Langkah 3.4.2

Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumusnya.

$(1) (18)$

Langkah 3.4.3

Kalikan $18$ dengan $1$ .

$18$

Langkah 3.5

Jumlahkan hasil penjumlahan.

$2109 + 342 + 18$

Langkah 3.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Tambahkan $2109$ dan $342$ .

$2451 + 18$

Langkah 3.6.2

Tambahkan $2451$ dan $18$ .

$2469$

Langkah 4

Evaluasi $\sum_{n = 1}^{3} n^{2} + 2 n + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Perluas barisan untuk setiap nilai dari $n$ .

$1^{2} + 2 \cdot 1 + 1 + 2^{2} + 2 \cdot 2 + 1 + 3^{2} + 2 \cdot 3 + 1$

Langkah 4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Naikkan $1$ menjadi pangkat $2$ .

$1 + 2 \cdot 1 + 1 + 2^{2} + 2 \cdot 2 + 1 + 3^{2} + 2 \cdot 3 + 1$

Langkah 4.2.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$1 + 2 + 1 + 2^{2} + 2 \cdot 2 + 1 + 3^{2} + 2 \cdot 3 + 1$

Langkah 4.2.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$3 + 1 + 2^{2} + 2 \cdot 2 + 1 + 3^{2} + 2 \cdot 3 + 1$

Langkah 4.2.4

Tambahkan $3$ dan $1$ .

$4 + 2^{2} + 2 \cdot 2 + 1 + 3^{2} + 2 \cdot 3 + 1$

Langkah 4.2.5

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$4 + 4 + 2 \cdot 2 + 1 + 3^{2} + 2 \cdot 3 + 1$

Langkah 4.2.6

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4 + 4 + 4 + 1 + 3^{2} + 2 \cdot 3 + 1$

Langkah 4.2.7

Tambahkan $4$ dan $4$ .

$4 + 8 + 1 + 3^{2} + 2 \cdot 3 + 1$

Langkah 4.2.8

Tambahkan $8$ dan $1$ .

$4 + 9 + 3^{2} + 2 \cdot 3 + 1$

Langkah 4.2.9

Tambahkan $4$ dan $9$ .

$13 + 3^{2} + 2 \cdot 3 + 1$

Langkah 4.2.10

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$13 + 9 + 2 \cdot 3 + 1$

Langkah 4.2.11

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$13 + 9 + 6 + 1$

Langkah 4.2.12

Tambahkan $9$ dan $6$ .

$13 + 15 + 1$

Langkah 4.2.13

Tambahkan $15$ dan $1$ .

$13 + 16$

Langkah 4.2.14

Tambahkan $13$ dan $16$ .

$29$

Langkah 5

Substitusikan penjumlahannya dengan nilai yang ditemukan.

$2469 - 29$

Langkah 6

Kurangi $29$ dengan $2469$ .

$2440$