Kalkulus Contoh

$x = \frac{y^{4}}{4} + \frac{1}{8 y^{2}}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (\frac{y^{4}}{4} + \frac{1}{8 y^{2}})$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{y^{4}}{4} + \frac{1}{8 y^{2}}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [\frac{y^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{y^{4}}{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{y^{4}}{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{4}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $y$ .

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Langkah 3.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Langkah 3.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $y$ .

$\frac{1}{4} (4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Langkah 3.2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{1}{4} (4 y^{3} y') + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Langkah 3.2.4

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} (y^{3} y') + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Langkah 3.2.5

Gabungkan $y^{3}$ dan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{y^{3} \cdot 4}{4} y' + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Langkah 3.2.6

Gabungkan $\frac{y^{3} \cdot 4}{4}$ dan $y'$ .

$\frac{y^{3} \cdot 4 y'}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Langkah 3.2.7

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $y^{3}$ .

$\frac{4 \cdot y^{3} y'}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Langkah 3.2.8

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.8.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 y^{3} y'}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Langkah 3.2.8.2

Bagilah $y^{3} y'$ dengan $1$ .

$y^{3} y' + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $\frac{1}{8}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{1}{8 y^{2}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = 1$ dan $g (x) = y^{2}$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y^{2} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}}$

Langkah 3.3.3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}}$

Langkah 3.3.4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $y$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])}{{(y^{2})}^{2}}$

Langkah 3.3.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])}{{(y^{2})}^{2}}$

Langkah 3.3.4.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $y$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (2 y \frac{d}{d x} [y])}{{(y^{2})}^{2}}$

Langkah 3.3.5

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (2 y y')}{{(y^{2})}^{2}}$

Langkah 3.3.6

Kalikan $y^{2}$ dengan $0$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{0 - 1 \cdot 1 (2 y y')}{{(y^{2})}^{2}}$

Langkah 3.3.7

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{0 - (2 y y')}{{(y^{2})}^{2}}$

Langkah 3.3.8

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{0 - 2 (y y')}{{(y^{2})}^{2}}$

Langkah 3.3.9

Kurangi $2 y y'$ dengan $0$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{- 2 y y'}{{(y^{2})}^{2}}$

Langkah 3.3.10

Kalikan eksponen dalam ${(y^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.10.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{- 2 y y'}{y^{2 \cdot 2}}$

Langkah 3.3.10.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{- 2 y y'}{y^{4}}$

Langkah 3.3.11

Hapus faktor persekutuan dari $y$ dan $y^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.11.1

Faktorkan $y$ dari $- 2 y y'$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y (- 2 y')}{y^{4}}$

Langkah 3.3.11.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.11.2.1

Faktorkan $y$ dari $y^{4}$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y (- 2 y')}{y \cdot y^{3}}$

Langkah 3.3.11.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y (- 2 y')}{y \cdot y^{3}}$

Langkah 3.3.11.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{- 2 y'}{y^{3}}$

Langkah 3.3.12

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y^{3} y' + \frac{1}{8} (- \frac{(2) y'}{y^{3}})$

Langkah 3.3.13

Kalikan $\frac{1}{8}$ dengan $\frac{2 y'}{y^{3}}$ .

$y^{3} y' - \frac{2 y'}{8 y^{3}}$

Langkah 3.3.14

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.14.1

Faktorkan $2$ dari $2 y'$ .

$y^{3} y' - \frac{2 (y')}{8 y^{3}}$

Langkah 3.3.14.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.14.2.1

Faktorkan $2$ dari $8 y^{3}$ .

$y^{3} y' - \frac{2 (y')}{2 (4 y^{3})}$

Langkah 3.3.14.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{3} y' - \frac{2 y'}{2 (4 y^{3})}$

Langkah 3.3.14.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{3} y' - \frac{y'}{4 y^{3}}$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$1 = y^{3} y' - \frac{y'}{4 y^{3}}$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $y^{3} y' - \frac{y'}{4 y^{3}} = 1$ .

$y^{3} y' - \frac{y'}{4 y^{3}} = 1$

Langkah 5.2

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$1, 4 y^{3}, 1$

Langkah 5.2.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$4 y^{3}$

Langkah 5.3

Kalikan setiap suku pada $y^{3} y' - \frac{y'}{4 y^{3}} = 1$ dengan $4 y^{3}$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Kalikan setiap suku dalam $y^{3} y' - \frac{y'}{4 y^{3}} = 1$ dengan $4 y^{3}$ .

$y^{3} y' (4 y^{3}) - \frac{y'}{4 y^{3}} (4 y^{3}) = 1 (4 y^{3})$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$4 y^{3} y' y^{3} - \frac{y'}{4 y^{3}} (4 y^{3}) = 1 (4 y^{3})$

Langkah 5.3.2.1.2

Kalikan $y^{3}$ dengan $y^{3}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.2.1

Pindahkan $y^{3}$ .

$4 (y^{3} y^{3}) y' - \frac{y'}{4 y^{3}} (4 y^{3}) = 1 (4 y^{3})$

Langkah 5.3.2.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$4 y^{3 + 3} y' - \frac{y'}{4 y^{3}} (4 y^{3}) = 1 (4 y^{3})$

Langkah 5.3.2.1.2.3

Tambahkan $3$ dan $3$ .

$4 y^{6} y' - \frac{y'}{4 y^{3}} (4 y^{3}) = 1 (4 y^{3})$

Langkah 5.3.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $4 y^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{y'}{4 y^{3}}$ ke dalam pembilangnya.

$4 y^{6} y' + \frac{- y'}{4 y^{3}} (4 y^{3}) = 1 (4 y^{3})$

Langkah 5.3.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$4 y^{6} y' + \frac{- y'}{4 y^{3}} (4 y^{3}) = 1 (4 y^{3})$

Langkah 5.3.2.1.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$4 y^{6} y' - y' = 1 (4 y^{3})$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Kalikan $4 y^{3}$ dengan $1$ .

$4 y^{6} y' - y' = 4 y^{3}$

Langkah 5.4

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Faktorkan $y'$ dari $4 y^{6} y' - y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1.1

Faktorkan $y'$ dari $4 y^{6} y'$ .

$y' (4 y^{6}) - y' = 4 y^{3}$

Langkah 5.4.1.2

Faktorkan $y'$ dari $- y'$ .

$y' (4 y^{6}) + y' \cdot - 1 = 4 y^{3}$

Langkah 5.4.1.3

Faktorkan $y'$ dari $y' (4 y^{6}) + y' \cdot - 1$ .

$y' (4 y^{6} - 1) = 4 y^{3}$

Langkah 5.4.2

Tulis kembali $4 y^{6}$ sebagai ${(2 y^{3})}^{2}$ .

$y' ({(2 y^{3})}^{2} - 1) = 4 y^{3}$

Langkah 5.4.3

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$y' ({(2 y^{3})}^{2} - 1^{2}) = 4 y^{3}$

Langkah 5.4.4

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.4.1

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 2 y^{3}$ dan $b = 1$ .

$y' ((2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)) = 4 y^{3}$

Langkah 5.4.4.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$y' (2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1) = 4 y^{3}$

Langkah 5.4.5

Bagi setiap suku pada $y' (2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1) = 4 y^{3}$ dengan $(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.5.1

Bagilah setiap suku di $y' (2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1) = 4 y^{3}$ dengan $(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)$ .

$\frac{y' (2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)}{(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)} = \frac{4 y^{3}}{(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)}$

Langkah 5.4.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2 y^{3} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)}{(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)} = \frac{4 y^{3}}{(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)}$

Langkah 5.4.5.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (2 y^{3} - 1)}{2 y^{3} - 1} = \frac{4 y^{3}}{(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)}$

Langkah 5.4.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2 y^{3} - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (2 y^{3} - 1)}{2 y^{3} - 1} = \frac{4 y^{3}}{(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)}$

Langkah 5.4.5.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{4 y^{3}}{(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y^{3}}{(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)}$