Kalkulus Contoh

$y^{2} x^{3} = y^{5} + 2 y^{3} - 2$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y^{2} x^{3}) = \frac{d}{d x} (y^{5} + 2 y^{3} - 2)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = y^{2}$ dan $g (x) = x^{3}$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + x^{3} \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$y^{2} (3 x^{2}) + x^{3} \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.2.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $y^{2}$ .

$3 \cdot y^{2} x^{2} + x^{3} \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$3 y^{2} x^{2} + x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$3 y^{2} x^{2} + x^{3} (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$3 y^{2} x^{2} + x^{3} (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.4

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x^{3}$ .

$3 y^{2} x^{2} + 2 \cdot x^{3} y \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.5

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$3 y^{2} x^{2} + 2 x^{3} y y'$

Langkah 2.6

Susun kembali suku-suku.

$3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{5} + 2 y^{3} - 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [y^{5}] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{5}] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y^{5}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{5}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 3.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 3.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $y$ .

$5 y^{4} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 3.2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$5 y^{4} y' + \frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 y^{3}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$5 y^{4} y' + 2 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $y$ .

$5 y^{4} y' + 2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 3.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$5 y^{4} y' + 2 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 3.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $y$ .

$5 y^{4} y' + 2 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 3.3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$5 y^{4} y' + 2 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 3.3.4

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$5 y^{4} y' + 6 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 3.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$5 y^{4} y' + 6 y^{2} y' + 0$

Langkah 3.4.2

Tambahkan $5 y^{4} y' + 6 y^{2} y'$ dan $0$ .

$5 y^{4} y' + 6 y^{2} y'$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y y' = 5 y^{4} y' + 6 y^{2} y'$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $y'$ ada di sisi kanan persamaan, tukar sisinya sehingga berada di sisi kiri persamaan.

$5 y^{4} y' + 6 y^{2} y' = 3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y y'$

Langkah 5.2

Kurangkan $2 x^{3} y y'$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$5 y^{4} y' + 6 y^{2} y' - 2 x^{3} y y' = 3 x^{2} y^{2}$

Langkah 5.3

Faktorkan $y y'$ dari $5 y^{4} y' + 6 y^{2} y' - 2 x^{3} y y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Faktorkan $y y'$ dari $5 y^{4} y'$ .

$y y' (5 y^{3}) + 6 y^{2} y' - 2 x^{3} y y' = 3 x^{2} y^{2}$

Langkah 5.3.2

Faktorkan $y y'$ dari $6 y^{2} y'$ .

$y y' (5 y^{3}) + y y' (6 y) - 2 x^{3} y y' = 3 x^{2} y^{2}$

Langkah 5.3.3

Faktorkan $y y'$ dari $- 2 x^{3} y y'$ .

$y y' (5 y^{3}) + y y' (6 y) + y y' (- 2 x^{3}) = 3 x^{2} y^{2}$

Langkah 5.3.4

Faktorkan $y y'$ dari $y y' (5 y^{3}) + y y' (6 y)$ .

$y y' (5 y^{3} + 6 y) + y y' (- 2 x^{3}) = 3 x^{2} y^{2}$

Langkah 5.3.5

Faktorkan $y y'$ dari $y y' (5 y^{3} + 6 y) + y y' (- 2 x^{3})$ .

$y y' (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3}) = 3 x^{2} y^{2}$

Langkah 5.4

Bagi setiap suku pada $y y' (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3}) = 3 x^{2} y^{2}$ dengan $y (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3})$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Bagilah setiap suku di $y y' (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3}) = 3 x^{2} y^{2}$ dengan $y (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3})$ .

$\frac{y y' (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3})}{y (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3})} = \frac{3 x^{2} y^{2}}{y (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3})}$

Langkah 5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y y' (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3})}{y (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3})} = \frac{3 x^{2} y^{2}}{y (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3})}$

Langkah 5.4.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3})}{5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3}} = \frac{3 x^{2} y^{2}}{y (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3})}$

Langkah 5.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3})}{5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3}} = \frac{3 x^{2} y^{2}}{y (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3})}$

Langkah 5.4.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2} y^{2}}{y (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3})}$

Langkah 5.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $y^{2}$ dan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1.1

Faktorkan $y$ dari $3 x^{2} y^{2}$ .

$y' = \frac{y (3 x^{2} y)}{y (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3})}$

Langkah 5.4.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{y (3 x^{2} y)}{y (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3})}$

Langkah 5.4.3.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{3 x^{2} y}{5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3}}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} y}{5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3}}$