Kalkulus Contoh

$x^{2} - 9 y^{2} = 200$

Langkah 1

Kurangkan $x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 9 y^{2} = 200 - x^{2}$

Langkah 2

Bagi setiap suku pada $- 9 y^{2} = 200 - x^{2}$ dengan $- 9$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Bagilah setiap suku di $- 9 y^{2} = 200 - x^{2}$ dengan $- 9$ .

$\frac{- 9 y^{2}}{- 9} = \frac{200}{- 9} + \frac{- x^{2}}{- 9}$

Langkah 2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 9 y^{2}}{- 9} = \frac{200}{- 9} + \frac{- x^{2}}{- 9}$

Langkah 2.2.1.2

Bagilah $y^{2}$ dengan $1$ .

$y^{2} = \frac{200}{- 9} + \frac{- x^{2}}{- 9}$

Langkah 2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y^{2} = - \frac{200}{9} + \frac{- x^{2}}{- 9}$

Langkah 2.3.1.2

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$y^{2} = - \frac{200}{9} + \frac{x^{2}}{9}$

Langkah 3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{- \frac{200}{9} + \frac{x^{2}}{9}}$

Langkah 4

Sederhanakan $\pm \sqrt{- \frac{200}{9} + \frac{x^{2}}{9}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \pm \sqrt{\frac{- 200 + x^{2}}{9}}$

Langkah 4.2

Tulis kembali $\frac{- 200 + x^{2}}{9}$ sebagai ${(\frac{1}{3})}^{2} (- 200 + x^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Faktorkan kuadrat sempurna $1^{2}$ dari $- 200 + x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- 200 + x^{2})}{9}}$

Langkah 4.2.2

Faktorkan kuadrat sempurna $3^{2}$ dari $9$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- 200 + x^{2})}{3^{2} \cdot 1}}$

Langkah 4.2.3

Susun kembali pecahan $\frac{1^{2} (- 200 + x^{2})}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} (- 200 + x^{2})}$

Langkah 4.3

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{- 200 + x^{2}}$

Langkah 4.4

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $\sqrt{- 200 + x^{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 200 + x^{2}}}{3}$

Langkah 5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \frac{\sqrt{- 200 + x^{2}}}{3}$

Langkah 5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \frac{\sqrt{- 200 + x^{2}}}{3}$

Langkah 5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \frac{\sqrt{- 200 + x^{2}}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{- 200 + x^{2}}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{- 200 + x^{2}}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{- 200 + x^{2}}}{3}$

Langkah 6

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{- 200 + x^{2}}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$- 200 + x^{2} \geq 0$

Langkah 7

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Tambahkan $200$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$x^{2} \geq 200$

Langkah 7.2

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi pertidaksamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{200}$

Langkah 7.3

Sederhanakan persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$| x | \geq \sqrt{200}$

Langkah 7.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.1

Sederhanakan $\sqrt{200}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.1.1

Tulis kembali $200$ sebagai $10^{2} \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.1.1.1

Faktorkan $100$ dari $200$ .

$| x | \geq \sqrt{100 (2)}$

Langkah 7.3.2.1.1.2

Tulis kembali $100$ sebagai $10^{2}$ .

$| x | \geq \sqrt{10^{2} \cdot 2}$

Langkah 7.3.2.1.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$| x | \geq | 10 | \sqrt{2}$

Langkah 7.3.2.1.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $10$ adalah $10$ .

$| x | \geq 10 \sqrt{2}$

Langkah 7.4

Tulis $| x | \geq 10 \sqrt{2}$ sebagai fungsi sesepenggal.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Untuk mencari interval bagian pertama, tentukan di mana bagian dalam dari nilai mutlaknya tidak negatif.

$x \geq 0$

Langkah 7.4.2

Pada bagian di mana $x$ non-negatif, hapus nilai mutlaknya.

$x \geq 10 \sqrt{2}$

Langkah 7.4.3

Untuk mencari interval bagian kedua, tentukan di mana bagian dalam dari nilai mutlaknya negatif.

$x < 0$

Langkah 7.4.4

Pada bagian di mana $x$ negatif, hapus nilai mutlaknya dan kalikan dengan $- 1$ .

$- x \geq 10 \sqrt{2}$

Langkah 7.4.5

Tulis sebagai fungsi sesepenggal.

${\begin{cases} x \geq 10 \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x \geq 10 \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

Langkah 7.5

Tentukan irisan dari $x \geq 10 \sqrt{2}$ dan $x \geq 0$ .

$x \geq 10 \sqrt{2}$

Langkah 7.6

Bagi setiap suku pada $- x \geq 10 \sqrt{2}$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.1

Bagi setiap suku dalam $- x \geq 10 \sqrt{2}$ dengan $- 1$ . Ketika mengalikan atau membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan nilai negatif, balik arah tanda pertidaksamaan.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{10 \sqrt{2}}{- 1}$

Langkah 7.6.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x}{1} \leq \frac{10 \sqrt{2}}{- 1}$

Langkah 7.6.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x \leq \frac{10 \sqrt{2}}{- 1}$

Langkah 7.6.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.3.1

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{10 \sqrt{2}}{- 1}$ .

$x \leq - 1 \cdot (10 \sqrt{2})$

Langkah 7.6.3.2

Tulis kembali $- 1 \cdot (10 \sqrt{2})$ sebagai $- (10 \sqrt{2})$ .

$x \leq - (10 \sqrt{2})$

Langkah 7.6.3.3

Kalikan $10$ dengan $- 1$ .

$x \leq - 10 \sqrt{2}$

Langkah 7.7

Tentukan gabungan dari penyelesaian-penyelesaiannya.

$x \leq - 10 \sqrt{2}$ atau $x \geq 10 \sqrt{2}$

Langkah 8

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, - 10 \sqrt{2}] \cup [10 \sqrt{2}, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \leq - 10 \sqrt{2}, x \geq 10 \sqrt{2}}$

Langkah 9

Jangkauannya adalah himpunan dari semua nilai $y$ yang valid. Gunakan grafik untuk mencari intervalnya.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${y | y \in ℝ}$

Langkah 10

Tentukan domain dan daerah hasilnya.

Domain: $(- \infty, - 10 \sqrt{2}] \cup [10 \sqrt{2}, \infty), {x | x \leq - 10 \sqrt{2}, x \geq 10 \sqrt{2}}$

Daerah hasil: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Langkah 11