Kalkulus Contoh

$\frac{e^{x}}{e^{x} - e^{- 1}}$

Langkah 1

Tentukan di mana pernyataan $\frac{e^{x}}{e^{x} - e^{- 1}}$ tidak terdefinisi.

$x = - 1$

Langkah 2

Evaluasi $lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} - e^{- 1}}$ untuk mencari asimtot datarnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Sederhanakan penjelasan limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} - \frac{1}{e}}$

Langkah 2.1.1.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.2.1

Untuk menuliskan $e^{x}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{e}{e}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{e^{x} e}{e} - \frac{1}{e}}$

Langkah 2.1.1.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{e^{x} e - 1}{e}}$

Langkah 2.1.2

Sederhanakan penjelasan limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$lim_{x \to \infty} e^{x} \frac{e}{e^{x} e - 1}$

Langkah 2.1.2.2

Gabungkan faktor-faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1

Kalikan $e^{x}$ dengan $e$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1.1

Naikkan $e$ menjadi pangkat $1$ .

$lim_{x \to \infty} e^{x} \frac{e}{e^{x} e^{1} - 1}$

Langkah 2.1.2.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$lim_{x \to \infty} e^{x} \frac{e}{e^{x + 1} - 1}$

Langkah 2.1.2.2.2

Gabungkan $e^{x}$ dan $\frac{e}{e^{x + 1} - 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x} e}{e^{x + 1} - 1}$

Langkah 2.1.2.2.3

Kalikan $e^{x}$ dengan $e$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.3.1

Naikkan $e$ menjadi pangkat $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x} e^{1}}{e^{x + 1} - 1}$

Langkah 2.1.2.2.3.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} - 1}$

Langkah 2.2

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x + 1}}{lim_{x \to \infty} e^{x + 1} - 1}$

Langkah 2.2.1.2

Karena eksponen $x + 1$ mendekati $\infty$ , jumlah $e^{x + 1}$ mendekati $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x + 1} - 1}$

Langkah 2.2.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.3.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x + 1} - lim_{x \to \infty} 1}$

Langkah 2.2.1.3.2

Karena eksponen $x + 1$ mendekati $\infty$ , jumlah $e^{x + 1}$ mendekati $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty - lim_{x \to \infty} 1}$

Langkah 2.2.1.3.3

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.3.3.1

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty - 1 \cdot 1}$

Langkah 2.2.1.3.3.2

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.3.3.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{\infty}{\infty - 1}$

Langkah 2.2.1.3.3.2.2

Tak hingga ditambah atau dikurangi sebuah bilangan hasilnya tak hingga.

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 2.2.1.3.3.2.3

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 2.2.1.3.3.3

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 2.2.1.3.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 2.2.1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 2.2.2

Karena $\frac{\infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} - 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x + 1}]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Langkah 2.2.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x + 1}]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Langkah 2.2.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Langkah 2.2.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Langkah 2.2.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Langkah 2.2.3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Langkah 2.2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Langkah 2.2.3.5

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Langkah 2.2.3.6

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Langkah 2.2.3.7

Kalikan $e^{x + 1}$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Langkah 2.2.3.8

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{x + 1} - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [e^{x + 1}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Langkah 2.2.3.9

Evaluasi $\frac{d}{d x} [e^{x + 1}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.9.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.9.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Langkah 2.2.3.9.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{u} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Langkah 2.2.3.9.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Langkah 2.2.3.9.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Langkah 2.2.3.9.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Langkah 2.2.3.9.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Langkah 2.2.3.9.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Langkah 2.2.3.9.6

Kalikan $e^{x + 1}$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Langkah 2.2.3.10

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} + 0}$

Langkah 2.2.3.11

Tambahkan $e^{x + 1}$ dan $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1}}$

Langkah 2.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{x + 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1}}$

Langkah 2.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to \infty} 1$

Langkah 2.3

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$1$

Langkah 3

Evaluasi $lim_{x \to - \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} - e^{- 1}}$ untuk mencari asimtot datarnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} e^{x}}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - e^{- 1}}$

Langkah 3.2

Karena eksponen $x$ mendekati $- \infty$ , jumlah $e^{x}$ mendekati $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - e^{- 1}}$

Langkah 3.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $- \infty$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - lim_{x \to - \infty} e^{- 1}}$

Langkah 3.4

Karena eksponen $x$ mendekati $- \infty$ , jumlah $e^{x}$ mendekati $0$ .

$\frac{0}{0 - lim_{x \to - \infty} e^{- 1}}$

Langkah 3.5

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Evaluasi limit dari $e^{- 1}$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $- \infty$ .

$\frac{0}{0 - e^{- 1}}$

Langkah 3.5.2

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{0 - \frac{1}{e}}$

Langkah 3.5.2.1.2

Kurangi $\frac{1}{e}$ dengan $0$ .

$\frac{0}{- \frac{1}{e}}$

Langkah 3.5.2.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$0 (- e)$

Langkah 3.5.2.3

Kalikan $0 (- e)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$0 e$

Langkah 3.5.2.3.2

Kalikan $0$ dengan $e$ .

$0$

Langkah 4

Tuliskan asimtot datarnya:

$y = 1, 0$

Langkah 5

Tidak ada asimtot miring karena pangkat dari pembilangnya lebih kecil dari atau sama dengan pangkat dari penyebutnya.

Tidak Ada Asimtot Miring

Langkah 6

Ini adalah himpunan semua asimtot.

Asimtot Tegak: $x = - 1$

Asimtot Datar: $y = 1, 0$

Tidak Ada Asimtot Miring

Langkah 7