Kalkulus Contoh

$16 x^{4} + 125 x$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $16 x^{4} + 125 x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [16 x^{4}] + \frac{d}{d x} [125 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (16 x^{4}) + \frac{d}{d x} (125 x)$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [16 x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $16$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $16 x^{4}$ terhadap $x$ adalah $16 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 16 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (125 x)$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$f' (x) = 16 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (125 x)$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $4$ dengan $16$ .

$f' (x) = 64 x^{3} + \frac{d}{d x} (125 x)$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [125 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $125$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $125 x$ terhadap $x$ adalah $125 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 64 x^{3} + 125 \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = 64 x^{3} + 125 \cdot 1$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $125$ dengan $1$ .

$f' (x) = 64 x^{3} + 125$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $64 x^{3} + 125$ .

$64 x^{3} + 125$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $64 x^{3} + 125 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$64 x^{3} + 125 = 0$

Langkah 2.2

Kurangkan $125$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$64 x^{3} = - 125$

Langkah 2.3

Tambahkan $125$ ke kedua sisi persamaan.

$64 x^{3} + 125 = 0$

Langkah 2.4

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Tulis kembali $64 x^{3}$ sebagai ${(4 x)}^{3}$ .

${(4 x)}^{3} + 125 = 0$

Langkah 2.4.2

Tulis kembali $125$ sebagai $5^{3}$ .

${(4 x)}^{3} + 5^{3} = 0$

Langkah 2.4.3

Karena kedua suku adalah pangkat tiga sempurna, faktorkan menggunakan rumus penjumlahan pangkat tiga. $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ di mana $a = 4 x$ dan $b = 5$ .

$(4 x + 5) ({(4 x)}^{2} - 4 x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Langkah 2.4.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.4.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $4 x$ .

$(4 x + 5) (4^{2} x^{2} - 4 x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Langkah 2.4.4.2

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$(4 x + 5) (16 x^{2} - 4 x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Langkah 2.4.4.3

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$(4 x + 5) (16 x^{2} - 4 x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Langkah 2.4.4.4

Kalikan $5$ dengan $- 4$ .

$(4 x + 5) (16 x^{2} - 20 x + 5^{2}) = 0$

Langkah 2.4.4.5

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$(4 x + 5) (16 x^{2} - 20 x + 25) = 0$

Langkah 2.5

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$4 x + 5 = 0$

$16 x^{2} - 20 x + 25 = 0$

Langkah 2.6

Atur $4 x + 5$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Atur $4 x + 5$ sama dengan $0$ .

$4 x + 5 = 0$

Langkah 2.6.2

Selesaikan $4 x + 5 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.1

Kurangkan $5$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$4 x = - 5$

Langkah 2.6.2.2

Bagi setiap suku pada $4 x = - 5$ dengan $4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.2.1

Bagilah setiap suku di $4 x = - 5$ dengan $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 5}{4}$

Langkah 2.6.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 5}{4}$

Langkah 2.6.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 5}{4}$

Langkah 2.6.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = - \frac{5}{4}$

Langkah 2.7

Atur $16 x^{2} - 20 x + 25$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Atur $16 x^{2} - 20 x + 25$ sama dengan $0$ .

$16 x^{2} - 20 x + 25 = 0$

Langkah 2.7.2

Selesaikan $16 x^{2} - 20 x + 25 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.2.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 2.7.2.2

Substitusikan nilai-nilai $a = 16$ , $b = - 20$ , dan $c = 25$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $x$ .

$\frac{20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 25)}}{2 \cdot 16}$

Langkah 2.7.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.2.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.2.3.1.1

Naikkan $- 20$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 16 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

Langkah 2.7.2.3.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 16 \cdot 25$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.2.3.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $16$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 64 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

Langkah 2.7.2.3.1.2.2

Kalikan $- 64$ dengan $25$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 1600}}{2 \cdot 16}$

Langkah 2.7.2.3.1.3

Kurangi $1600$ dengan $400$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1200}}{2 \cdot 16}$

Langkah 2.7.2.3.1.4

Tulis kembali $- 1200$ sebagai $- 1 (1200)$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1200}}{2 \cdot 16}$

Langkah 2.7.2.3.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (1200)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 16}$

Langkah 2.7.2.3.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 16}$

Langkah 2.7.2.3.1.7

Tulis kembali $1200$ sebagai $20^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.2.3.1.7.1

Faktorkan $400$ dari $1200$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{400 (3)}}{2 \cdot 16}$

Langkah 2.7.2.3.1.7.2

Tulis kembali $400$ sebagai $20^{2}$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{20^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Langkah 2.7.2.3.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \frac{20 \pm i \cdot (20 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Langkah 2.7.2.3.1.9

Pindahkan $20$ ke sebelah kiri $i$ .

$x = \frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Langkah 2.7.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $16$ .

$x = \frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{32}$

Langkah 2.7.2.3.3

Sederhanakan $\frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{8}$

Langkah 2.7.2.4

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $+$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.2.4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.2.4.1.1

Naikkan $- 20$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 16 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

Langkah 2.7.2.4.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 16 \cdot 25$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.2.4.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $16$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 64 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

Langkah 2.7.2.4.1.2.2

Kalikan $- 64$ dengan $25$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 1600}}{2 \cdot 16}$

Langkah 2.7.2.4.1.3

Kurangi $1600$ dengan $400$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1200}}{2 \cdot 16}$

Langkah 2.7.2.4.1.4

Tulis kembali $- 1200$ sebagai $- 1 (1200)$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1200}}{2 \cdot 16}$

Langkah 2.7.2.4.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (1200)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 16}$

Langkah 2.7.2.4.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 16}$

Langkah 2.7.2.4.1.7

Tulis kembali $1200$ sebagai $20^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.2.4.1.7.1

Faktorkan $400$ dari $1200$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{400 (3)}}{2 \cdot 16}$

Langkah 2.7.2.4.1.7.2

Tulis kembali $400$ sebagai $20^{2}$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{20^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Langkah 2.7.2.4.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \frac{20 \pm i \cdot (20 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Langkah 2.7.2.4.1.9

Pindahkan $20$ ke sebelah kiri $i$ .

$x = \frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Langkah 2.7.2.4.2

Kalikan $2$ dengan $16$ .

$x = \frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{32}$

Langkah 2.7.2.4.3

Sederhanakan $\frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{8}$

Langkah 2.7.2.4.4

Ubah $\pm$ menjadi $+$ .

$x = \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{8}$

Langkah 2.7.2.5

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $-$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.2.5.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.2.5.1.1

Naikkan $- 20$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 16 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

Langkah 2.7.2.5.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 16 \cdot 25$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.2.5.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $16$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 64 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

Langkah 2.7.2.5.1.2.2

Kalikan $- 64$ dengan $25$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 1600}}{2 \cdot 16}$

Langkah 2.7.2.5.1.3

Kurangi $1600$ dengan $400$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1200}}{2 \cdot 16}$

Langkah 2.7.2.5.1.4

Tulis kembali $- 1200$ sebagai $- 1 (1200)$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1200}}{2 \cdot 16}$

Langkah 2.7.2.5.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (1200)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 16}$

Langkah 2.7.2.5.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 16}$

Langkah 2.7.2.5.1.7

Tulis kembali $1200$ sebagai $20^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.2.5.1.7.1

Faktorkan $400$ dari $1200$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{400 (3)}}{2 \cdot 16}$

Langkah 2.7.2.5.1.7.2

Tulis kembali $400$ sebagai $20^{2}$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{20^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Langkah 2.7.2.5.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \frac{20 \pm i \cdot (20 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Langkah 2.7.2.5.1.9

Pindahkan $20$ ke sebelah kiri $i$ .

$x = \frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Langkah 2.7.2.5.2

Kalikan $2$ dengan $16$ .

$x = \frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{32}$

Langkah 2.7.2.5.3

Sederhanakan $\frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{8}$

Langkah 2.7.2.5.4

Ubah $\pm$ menjadi $-$ .

$x = \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{8}$

Langkah 2.7.2.6

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$x = \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{8}, \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{8}$

Langkah 2.8

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(4 x + 5) (16 x^{2} - 20 x + 25) = 0$ benar.

$x = - \frac{5}{4}, \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{8}, \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{8}$

Langkah 3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 4

Evaluasi $16 x^{4} + 125 x$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi pada $x = - \frac{5}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Substitusikan $- \frac{5}{4}$ untuk $x$ .

$16 {(- \frac{5}{4})}^{4} + 125 (- \frac{5}{4})$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{5}{4}$ .

$16 ({(- 1)}^{4} {(\frac{5}{4})}^{4}) + 125 (- \frac{5}{4})$

Langkah 4.1.2.1.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{5}{4}$ .

$16 ({(- 1)}^{4} \frac{5^{4}}{4^{4}}) + 125 (- \frac{5}{4})$

Langkah 4.1.2.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $4$ .

$16 (1 \frac{5^{4}}{4^{4}}) + 125 (- \frac{5}{4})$

Langkah 4.1.2.1.3

Kalikan $\frac{5^{4}}{4^{4}}$ dengan $1$ .

$16 \frac{5^{4}}{4^{4}} + 125 (- \frac{5}{4})$

Langkah 4.1.2.1.4

Naikkan $5$ menjadi pangkat $4$ .

$16 \frac{625}{4^{4}} + 125 (- \frac{5}{4})$

Langkah 4.1.2.1.5

Naikkan $4$ menjadi pangkat $4$ .

$16 (\frac{625}{256}) + 125 (- \frac{5}{4})$

Langkah 4.1.2.1.6

Batalkan faktor persekutuan dari $16$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.6.1

Faktorkan $16$ dari $256$ .

$16 \frac{625}{16 (16)} + 125 (- \frac{5}{4})$

Langkah 4.1.2.1.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$16 \frac{625}{16 \cdot 16} + 125 (- \frac{5}{4})$

Langkah 4.1.2.1.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{625}{16} + 125 (- \frac{5}{4})$

Langkah 4.1.2.1.7

Kalikan $125 (- \frac{5}{4})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $125$ .

$\frac{625}{16} - 125 (\frac{5}{4})$

Langkah 4.1.2.1.7.2

Gabungkan $- 125$ dan $\frac{5}{4}$ .

$\frac{625}{16} + \frac{- 125 \cdot 5}{4}$

Langkah 4.1.2.1.7.3

Kalikan $- 125$ dengan $5$ .

$\frac{625}{16} + \frac{- 625}{4}$

Langkah 4.1.2.1.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{625}{16} - \frac{625}{4}$

Langkah 4.1.2.2

Untuk menuliskan $- \frac{625}{4}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{625}{16} - \frac{625}{4} \cdot \frac{4}{4}$

Langkah 4.1.2.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $16$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.3.1

Kalikan $\frac{625}{4}$ dengan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{625}{16} - \frac{625 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Langkah 4.1.2.3.2

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$\frac{625}{16} - \frac{625 \cdot 4}{16}$

Langkah 4.1.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{625 - 625 \cdot 4}{16}$

Langkah 4.1.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.5.1

Kalikan $- 625$ dengan $4$ .

$\frac{625 - 2500}{16}$

Langkah 4.1.2.5.2

Kurangi $2500$ dengan $625$ .

$\frac{- 1875}{16}$

Langkah 4.1.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1875}{16}$

Langkah 4.2

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(- \frac{5}{4}, - \frac{1875}{16})$

Langkah 5