Kalkulus Contoh

$f (x) = 2 x^{e^{x}}$ $x = 1$

Langkah 1

Tentukan turunannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x^{e^{x}}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x^{e^{x}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{e^{x}}]$

Langkah 1.2

Gunakan sifat-sifat logaritma untuk menyederhanakan differensiasinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Tulis kembali $x^{e^{x}}$ sebagai $e^{\ln (x^{e^{x}})}$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{e^{x}})}]$

Langkah 1.2.2

Perluas $\ln (x^{e^{x}})$ dengan memindahkan $e^{x}$ ke luar logaritma.

$2 \frac{d}{d x} [e^{e^{x} \ln (x)}]$

Langkah 1.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = e^{x} \ln (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $e^{x} \ln (x)$ .

$2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)])$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$2 (e^{u} \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)])$

Langkah 1.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $e^{x} \ln (x)$ .

$2 (e^{e^{x} \ln (x)} \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)])$

Langkah 1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = \ln (x)$ .

$2 e^{e^{x} \ln (x)} (e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Langkah 1.5

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$2 e^{e^{x} \ln (x)} (e^{x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Langkah 1.6

Gabungkan $e^{x}$ dan $\frac{1}{x}$ .

$2 e^{e^{x} \ln (x)} (\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Langkah 1.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$2 e^{e^{x} \ln (x)} (\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) e^{x})$

Langkah 1.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.1

Terapkan sifat distributif.

$2 e^{e^{x} \ln (x)} \frac{e^{x}}{x} + 2 e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Langkah 1.8.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.2.1

Gabungkan $\frac{e^{x}}{x}$ dan $2$ .

$\frac{e^{x} \cdot 2}{x} e^{e^{x} \ln (x)} + 2 e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Langkah 1.8.2.2

Gabungkan $\frac{e^{x} \cdot 2}{x}$ dan $e^{e^{x} \ln (x)}$ .

$\frac{e^{x} \cdot 2 e^{e^{x} \ln (x)}}{x} + 2 e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Langkah 1.8.2.3

Kalikan $e^{x}$ dengan $e^{e^{x} \ln (x)}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.2.3.1

Pindahkan $e^{e^{x} \ln (x)}$ .

$\frac{e^{e^{x} \ln (x)} e^{x} \cdot 2}{x} + 2 e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Langkah 1.8.2.3.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{e^{e^{x} \ln (x) + x} \cdot 2}{x} + 2 e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Langkah 1.8.2.4

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $e^{e^{x} \ln (x) + x}$ .

$\frac{2 \cdot e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x} + 2 e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Langkah 1.8.2.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x} + 2 e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x)$

Langkah 1.8.2.6

Untuk menuliskan $2 e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x)$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x} + \frac{2 e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

Langkah 1.8.2.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2 e^{e^{x} \ln (x) + x} + 2 e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

Langkah 1.8.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{2 e^{x + e^{x} \ln (x)} x \ln (x) + 2 e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x}$

Langkah 2

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (1) = \frac{2 e^{(1) + e^{1} \ln (1)} (1) \ln (1) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}}{1}$

Langkah 3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Hilangkan tanda kurung.

$f' (1) = \frac{2 e^{(1) + e^{1} \ln (1)} (1) \ln (1) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}}{1}$

Langkah 3.2

Bagilah $2 e^{(1) + e^{1} \ln (1)} (1) \ln (1) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$ dengan $1$ .

$f' (1) = 2 e^{(1) + e^{1} \ln (1)} (1) \ln (1) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Langkah 4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Sederhanakan.

$f' (1) = 2 e^{1 + e \ln (1)} \cdot (1 \ln (1)) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Langkah 4.1.2

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$f' (1) = 2 e^{1 + e \cdot 0} \cdot (1 \ln (1)) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Langkah 4.1.3

Kalikan $e$ dengan $0$ .

$f' (1) = 2 e^{1 + 0} \cdot (1 \ln (1)) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Langkah 4.2

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f' (1) = 2 e \cdot (1 \ln (1)) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Langkah 4.3

Sederhanakan.

$f' (1) = 2 e \cdot (1 \ln (1)) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Langkah 4.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f' (1) = 2 e \ln (1) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Langkah 4.5

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$f' (1) = 2 e \cdot 0 + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Langkah 4.6

Kalikan $2 e \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Kalikan $0$ dengan $2$ .

$f' (1) = 0 e + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Langkah 4.6.2

Kalikan $0$ dengan $e$ .

$f' (1) = 0 + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Langkah 4.7

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1

Sederhanakan.

$f' (1) = 0 + 2 e^{e \ln (1) + 1}$

Langkah 4.7.2

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$f' (1) = 0 + 2 e^{e \cdot 0 + 1}$

Langkah 4.7.3

Kalikan $e$ dengan $0$ .

$f' (1) = 0 + 2 e^{0 + 1}$

Langkah 4.8

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$f' (1) = 0 + 2 e$

Langkah 4.9

Sederhanakan.

$f' (1) = 0 + 2 e$

Langkah 5

Tambahkan $0$ dan $2 e$ .

$f' (1) = 2 e$