Kalkulus Contoh

$y = 3 t {(2 t^{2} - 7)}^{5}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (3 t {(2 t^{2} - 7)}^{5})$

Langkah 2

Turunan dari $y$ terhadap $t$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Karena $3$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $3 t {(2 t^{2} - 7)}^{5}$ terhadap $t$ adalah $3 \frac{d}{d t} [t {(2 t^{2} - 7)}^{5}]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t {(2 t^{2} - 7)}^{5}]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ adalah $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ di mana $f (t) = t$ dan $g (t) = {(2 t^{2} - 7)}^{5}$ .

$3 (t \frac{d}{d t} [{(2 t^{2} - 7)}^{5}] + {(2 t^{2} - 7)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ adalah $f' (g (t)) g' (t)$ di mana $f (t) = t^{5}$ dan $g (t) = 2 t^{2} - 7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 t^{2} - 7$ .

$3 (t (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d t} [2 t^{2} - 7]) + {(2 t^{2} - 7)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$3 (t (5 u^{4} \frac{d}{d t} [2 t^{2} - 7]) + {(2 t^{2} - 7)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 3.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 t^{2} - 7$ .

$3 (t (5 {(2 t^{2} - 7)}^{4} \frac{d}{d t} [2 t^{2} - 7]) + {(2 t^{2} - 7)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 3.4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 t^{2} - 7$ terhadap $t$ adalah $\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7]$ .

$3 (t (5 {(2 t^{2} - 7)}^{4} (\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7])) + {(2 t^{2} - 7)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 3.4.2

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $2 t^{2}$ terhadap $t$ adalah $2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$3 (t (5 {(2 t^{2} - 7)}^{4} (2 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7])) + {(2 t^{2} - 7)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 3.4.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$3 (t (5 {(2 t^{2} - 7)}^{4} (2 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 7])) + {(2 t^{2} - 7)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 3.4.4

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$3 (t (5 {(2 t^{2} - 7)}^{4} (4 t + \frac{d}{d t} [- 7])) + {(2 t^{2} - 7)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 3.4.5

Karena $- 7$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $- 7$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$3 (t (5 {(2 t^{2} - 7)}^{4} (4 t + 0)) + {(2 t^{2} - 7)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 3.4.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.6.1

Tambahkan $4 t$ dan $0$ .

$3 (t (5 {(2 t^{2} - 7)}^{4} (4 t)) + {(2 t^{2} - 7)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 3.4.6.2

Kalikan $4$ dengan $5$ .

$3 (t (20 {(2 t^{2} - 7)}^{4} t) + {(2 t^{2} - 7)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 3.5

Naikkan $t$ menjadi pangkat $1$ .

$3 (t^{1} t (20 {(2 t^{2} - 7)}^{4}) + {(2 t^{2} - 7)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 3.6

Naikkan $t$ menjadi pangkat $1$ .

$3 (t^{1} t^{1} (20 {(2 t^{2} - 7)}^{4}) + {(2 t^{2} - 7)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 3.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$3 (t^{1 + 1} (20 {(2 t^{2} - 7)}^{4}) + {(2 t^{2} - 7)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 3.8

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$3 (t^{2} (20 {(2 t^{2} - 7)}^{4}) + {(2 t^{2} - 7)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 3.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 (t^{2} (20 {(2 t^{2} - 7)}^{4}) + {(2 t^{2} - 7)}^{5} \cdot 1)$

Langkah 3.10

Kalikan ${(2 t^{2} - 7)}^{5}$ dengan $1$ .

$3 (t^{2} (20 {(2 t^{2} - 7)}^{4}) + {(2 t^{2} - 7)}^{5})$

Langkah 3.11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.1

Terapkan sifat distributif.

$3 (t^{2} (20 {(2 t^{2} - 7)}^{4})) + 3 {(2 t^{2} - 7)}^{5}$

Langkah 3.11.2

Kalikan $20$ dengan $3$ .

$60 (t^{2} ({(2 t^{2} - 7)}^{4})) + 3 {(2 t^{2} - 7)}^{5}$

Langkah 3.11.3

Faktorkan $3 {(2 t^{2} - 7)}^{4}$ dari $60 t^{2} {(2 t^{2} - 7)}^{4} + 3 {(2 t^{2} - 7)}^{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.3.1

Faktorkan $3 {(2 t^{2} - 7)}^{4}$ dari $60 t^{2} {(2 t^{2} - 7)}^{4}$ .

$3 {(2 t^{2} - 7)}^{4} (20 t^{2}) + 3 {(2 t^{2} - 7)}^{5}$

Langkah 3.11.3.2

Faktorkan $3 {(2 t^{2} - 7)}^{4}$ dari $3 {(2 t^{2} - 7)}^{5}$ .

$3 {(2 t^{2} - 7)}^{4} (20 t^{2}) + 3 {(2 t^{2} - 7)}^{4} (2 t^{2} - 7)$

Langkah 3.11.3.3

Faktorkan $3 {(2 t^{2} - 7)}^{4}$ dari $3 {(2 t^{2} - 7)}^{4} (20 t^{2}) + 3 {(2 t^{2} - 7)}^{4} (2 t^{2} - 7)$ .

$3 {(2 t^{2} - 7)}^{4} (20 t^{2} + 2 t^{2} - 7)$

Langkah 3.11.4

Tambahkan $20 t^{2}$ dan $2 t^{2}$ .

$3 {(2 t^{2} - 7)}^{4} (22 t^{2} - 7)$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = 3 {(2 t^{2} - 7)}^{4} (22 t^{2} - 7)$

Langkah 5

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = 3 {(2 t^{2} - 7)}^{4} (22 t^{2} - 7)$