Kalkulus Contoh

$y = \arctan (\sqrt{4 t})$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{4 t}$ sebagai ${(4 t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \arctan ({(4 t)}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 2

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (\arctan ({(4 t)}^{\frac{1}{2}}))$

Langkah 3

Turunan dari $y$ terhadap $t$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 4

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Faktorkan $4$ dari $4 t$ .

$\frac{d}{d t} [\arctan ({(4 (t))}^{\frac{1}{2}})]$

Langkah 4.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $4 (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\arctan (4^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})]$

Langkah 4.2.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [\arctan ({(2^{2})}^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})]$

Langkah 4.2.3

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d t} [\arctan (2^{2 (\frac{1}{2})} t^{\frac{1}{2}})]$

Langkah 4.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d}{d t} [\arctan (2^{2 (\frac{1}{2})} t^{\frac{1}{2}})]$

Langkah 4.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d}{d t} [\arctan (2^{1} t^{\frac{1}{2}})]$

Langkah 4.4

Evaluasi eksponennya.

$\frac{d}{d t} [\arctan (2 t^{\frac{1}{2}})]$

Langkah 4.5

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ adalah $f' (g (t)) g' (t)$ di mana $f (t) = \arctan (t)$ dan $g (t) = 2 t^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 4.5.2

Turunan dari $\arctan (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 4.5.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {(2 t^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 4.6

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Faktorkan $2$ dari $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {(2 (t^{\frac{1}{2}}))}^{2}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 4.6.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.2.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 (t^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{1}{1 + 2^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 4.6.2.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{1}{1 + 4 {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 4.6.2.3

Kalikan eksponen dalam ${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.2.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + 4 t^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 4.6.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{1 + 4 t^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 4.6.2.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{1 + 4 t^{1}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 4.7

Sederhanakan.

$\frac{1}{1 + 4 t} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 4.8

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $2 t^{\frac{1}{2}}$ terhadap $t$ adalah $2 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{1 + 4 t} (2 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

Langkah 4.9

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{1 + 4 t}$ .

$\frac{2}{1 + 4 t} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 4.10

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{1 + 4 t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})$

Langkah 4.11

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{1 + 4 t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Langkah 4.12

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{1 + 4 t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 4.13

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2}{1 + 4 t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 4.14

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.14.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{2}{1 + 4 t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})$

Langkah 4.14.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{2}{1 + 4 t} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})$

Langkah 4.15

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{2}{1 + 4 t} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})$

Langkah 4.16

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{1 + 4 t} \cdot \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 4.17

Kalikan $\frac{2}{1 + 4 t}$ dengan $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 t^{- \frac{1}{2}}}{(1 + 4 t) \cdot 2}$

Langkah 4.18

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.18.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $1 + 4 t$ .

$\frac{2 t^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot (1 + 4 t)}$

Langkah 4.18.2

Pindahkan $t^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{2 (1 + 4 t) t^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.19

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2}{2 (1 + 4 t) t^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.20

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{(1 + 4 t) t^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.21

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.21.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{1 t^{\frac{1}{2}} + 4 t \cdot t^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.21.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.21.2.1

Kalikan $t^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}} + 4 t \cdot t^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.21.2.2

Kalikan $t$ dengan $t^{\frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.21.2.2.1

Pindahkan $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}} + 4 (t^{\frac{1}{2}} t)}$

Langkah 4.21.2.2.2

Kalikan $t^{\frac{1}{2}}$ dengan $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.21.2.2.2.1

Naikkan $t$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}} + 4 (t^{\frac{1}{2}} t^{1})}$

Langkah 4.21.2.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1}{2} + 1}}$

Langkah 4.21.2.2.3

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Langkah 4.21.2.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Langkah 4.21.2.2.5

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 4.21.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{4 t^{\frac{3}{2}} + t^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.21.4

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.21.4.1

Faktorkan $t^{\frac{1}{2}}$ dari $4 t^{\frac{3}{2}} + t^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.21.4.1.1

Faktorkan $t^{\frac{1}{2}}$ dari $4 t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}} (4 t^{\frac{2}{2}}) + t^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.21.4.1.2

Kalikan dengan $1$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}} (4 t^{\frac{2}{2}}) + t^{\frac{1}{2}} \cdot 1}$

Langkah 4.21.4.1.3

Faktorkan $t^{\frac{1}{2}}$ dari $t^{\frac{1}{2}} (4 t^{\frac{2}{2}}) + t^{\frac{1}{2}} \cdot 1$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}} (4 t^{\frac{2}{2}} + 1)}$

Langkah 4.21.4.2

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}} (4 t^{1} + 1)}$

Langkah 4.21.4.3

Sederhanakan.

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}} (4 t + 1)}$

Langkah 5

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} (4 t + 1)}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} (4 t + 1)}$