Kalkulus Contoh

$y = 2 x - \tan (x)$

Langkah 1

Tulis $y = 2 x - \tan (x)$ sebagai fungsi.

$f (x) = 2 x - \tan (x)$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x - \tan (x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \tan (x))$

Langkah 2.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \tan (x))$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \tan (x))$

Langkah 2.1.2.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- \tan (x))$

Langkah 2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \tan (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$f' (x) = 2 - \frac{d}{d x} \tan (x)$

Langkah 2.1.3.2

Turunan dari $\tan (x)$ terhadap $x$ adalah $\sec^{2} (x)$ .

$f' (x) = 2 - \sec^{2} (x)$

Langkah 2.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 - \sec^{2} (x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (- \sec^{2} (x))$

Langkah 2.2.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \sec^{2} (x))$

Langkah 2.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \sec^{2} (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} \sec^{2} (x)$

Langkah 2.2.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \sec (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\sec (x)$ .

$f'' (x) = 0 - (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Langkah 2.2.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = 0 - (2 u \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Langkah 2.2.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\sec (x)$ .

$f'' (x) = 0 - (2 \sec (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Langkah 2.2.2.3

Turunan dari $\sec (x)$ terhadap $x$ adalah $\sec (x) \tan (x)$ .

$f'' (x) = 0 - (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Langkah 2.2.2.4

Naikkan $\sec (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = 0 - (2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x))$

Langkah 2.2.2.5

Naikkan $\sec (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = 0 - (2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x))$

Langkah 2.2.2.6

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = 0 - (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))$

Langkah 2.2.2.7

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f'' (x) = 0 - (2 \sec^{2} (x) \tan (x))$

Langkah 2.2.2.8

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Langkah 2.2.3

Kurangi $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ dengan $0$ .

$f'' (x) = - 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Langkah 2.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ .

$- 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Langkah 3

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) = 0$

Langkah 3.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$\sec^{2} (x) = 0$

$\tan (x) = 0$

Langkah 3.3

Atur $\sec^{2} (x)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Atur $\sec^{2} (x)$ sama dengan $0$ .

$\sec^{2} (x) = 0$

Langkah 3.3.2

Selesaikan $\sec^{2} (x) = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sec (x) = \pm \sqrt{0}$

Langkah 3.3.2.2

Sederhanakan $\pm \sqrt{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$\sec (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Langkah 3.3.2.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\sec (x) = \pm 0$

Langkah 3.3.2.2.3

Tambah atau kurang $0$ adalah $0$ .

$\sec (x) = 0$

Langkah 3.3.2.3

Jangkauan dari sekan adalah $y \leq - 1$ dan $y \geq 1$ . Karena $0$ tidak berada dalam jangkauan ini, maka tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 3.4

Atur $\tan (x)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Atur $\tan (x)$ sama dengan $0$ .

$\tan (x) = 0$

Langkah 3.4.2

Selesaikan $\tan (x) = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Ambil tangen balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam tangen.

$x = \arctan (0)$

Langkah 3.4.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.2.1

Nilai eksak dari $\arctan (0)$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 3.4.2.3

Fungsi tangen positif di kuadran pertama dan ketiga. Untuk mencari penyelesaian kedua, tambahkan sudut acuan dari $π$ untuk mencari penyelesaiannya di kuadran keempat.

$x = π + 0$

Langkah 3.4.2.4

Tambahkan $π$ dan $0$ .

$x = π$

Langkah 3.4.2.5

Tentukan periode dari $\tan (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Langkah 3.4.2.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Langkah 3.4.2.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{π}{1}$

Langkah 3.4.2.5.4

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$π$

Langkah 3.4.2.6

Periode dari fungsi $\tan (x)$ adalah $π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $π$ radian di kedua arah.

$x = π n, π + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 3.5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) = 0$ benar.

$x = π n, π + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 3.6

Gabungkan jawabannya.

$x = π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 4

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi dalam $f (x) = 2 x - \tan (x)$ adalah $(,)$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(,)$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty,) \cup (, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty,)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 0.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 0.1) = - 2 \sec^{2} (- 0.1) \tan (- 0.1)$

Langkah 6.2

Jawaban akhirnya adalah $- 2 \sec^{2} (- 0.1) \tan (- 0.1)$ .

$- 2 \sec^{2} (- 0.1) \tan (- 0.1)$

Langkah 6.3

Pada $- 0.1$ , turunan keduanya adalah $0.20268949$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(- \infty,)$ .

Meningkat pada $(- \infty,)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0.1) = - 2 \sec^{2} (0.1) \tan (0.1)$

Langkah 7.2

Jawaban akhirnya adalah $- 2 \sec^{2} (0.1) \tan (0.1)$ .

$- 2 \sec^{2} (0.1) \tan (0.1)$

Langkah 7.3

Pada $0.1$ , turunan kedua adalah $- 0.20268949$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(, \infty)$

Menurun pada $(, \infty)$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 8

Titik belok adalah titik pada kurva ketika kecekungan berubah dari positif ke negatif atau dari negatif ke positif. Titik belok dalam kasus ini adalah $(,)$ .

$(,)$

Langkah 9