Kalkulus Contoh

$y = e^{x}$ , $y = x e^{x^{2}}$ , $(1, e)$

Langkah 1

Selesaikan dengan substitusi untuk mencari perpotongan antara kurva-kurvanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Eliminasi sisi yang sama dari setiap persamaan dan gabungkan.

$e^{x} = x e^{x^{2}}$

Langkah 1.2

Gambarkan setiap sisi persamaan. Penyelesaiannya adalah nilai x dari titik perpotongan.

$x = 1$

Langkah 1.3

Evaluasi $y$ ketika $x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Substitusikan $1$ untuk $x$ .

$y = (1) \cdot e^{{(1)}^{2}}$

Langkah 1.3.2

Substitusikan $1$ ke $x$ dalam $y = (1) \cdot e^{{(1)}^{2}}$ dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = 1 \cdot e^{1^{2}}$

Langkah 1.3.2.2

Hilangkan tanda kurung.

$y = (1) \cdot e^{{(1)}^{2}}$

Langkah 1.3.2.3

Sederhanakan $(1) \cdot e^{{(1)}^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.3.1

Kalikan $e^{{(1)}^{2}}$ dengan $1$ .

$y = e^{{(1)}^{2}}$

Langkah 1.3.2.3.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$y = e^{1}$

Langkah 1.3.2.3.3

Sederhanakan.

$y = e$

Langkah 1.4

Penyelesaian dari sistem adalah himpunan lengkap dari pasangan terurut yang merupakan penyelesaian valid.

$(1, e)$

Langkah 2

Luas daerah di antara kurva didefinisikan sebagai integral dari kurva atas dikurangi integral kurva bawah di sepanjang setiap daerah. Daerahnya ditentukan oleh perpotongan titik pada kurva. Daerah ini dapat ditentukan menggunakan aljabar atau grafik.

$A r e a = \int_{1}^{e} x e^{x^{2}} d x - \int_{1}^{e} e^{x} d x$

Langkah 3

Integralkan untuk menghitung luas antara $1$ dan $e$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan integral-integral tersebut menjadi integral tunggal.

$\int_{1}^{e} x e^{x^{2}} - (e^{x}) d x$

Langkah 3.2

Kalikan $- 1$ dengan $e^{x}$ .

$\int_{1}^{e} x e^{x^{2}} - e^{x} d x$

Langkah 3.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{1}^{e} x e^{x^{2}} d x + \int_{1}^{e} - e^{x} d x$

Langkah 3.4

Biarkan $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Kemudian $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Biarkan $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1

Diferensialkan $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Langkah 3.4.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.4.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.4.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

Langkah 3.4.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.4.1

Susun kembali faktor-faktor dari $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

Langkah 3.4.1.4.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

Langkah 3.4.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u_{2} = e^{x^{2}}$ .

$u_{lower} = e^{1^{2}}$

Langkah 3.4.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$u_{lower} = e^{1}$

Langkah 3.4.3.2

Sederhanakan.

$u_{lower} = e$

Langkah 3.4.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u_{2} = e^{x^{2}}$ .

$u_{upper} = e^{e^{2}}$

Langkah 3.4.5

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = e$

$u_{upper} = e^{e^{2}}$

Langkah 3.4.6

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ , $d u_{2}$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{e}^{e^{e^{2}}} \frac{1}{2} d u_{2} + \int_{1}^{e} - e^{x} d x$

Langkah 3.5

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{2} u_{2}]_{e}^{e^{e^{2}}} + \int_{1}^{e} - e^{x} d x$

Langkah 3.6

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} u_{2}]_{e}^{e^{e^{2}}} - \int_{1}^{e} e^{x} d x$

Langkah 3.7

Integral dari $e^{x}$ terhadap $x$ adalah $e^{x}$ .

$\frac{1}{2} u_{2}]_{e}^{e^{e^{2}}} - (e^{x}]_{1}^{e})$

Langkah 3.8

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Evaluasi $\frac{1}{2} u_{2}$ pada $e^{e^{2}}$ dan pada $e$ .

$(\frac{1}{2} e^{e^{2}}) - \frac{1}{2} e - (e^{x}]_{1}^{e})$

Langkah 3.8.2

Evaluasi $e^{x}$ pada $e$ dan pada $1$ .

$(\frac{1}{2} e^{e^{2}}) - \frac{1}{2} e - ((e^{e}) - e^{1})$

Langkah 3.8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.3.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{e^{2}}$ .

$\frac{e^{e^{2}}}{2} - \frac{1}{2} e - ((e^{e}) - e^{1})$

Langkah 3.8.3.2

Gabungkan $e$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{e^{e^{2}}}{2} - \frac{e}{2} - ((e^{e}) - e^{1})$

Langkah 3.8.3.3

Sederhanakan.

$\frac{e^{e^{2}}}{2} - \frac{e}{2} - (e^{e} - e)$

Langkah 3.8.3.4

Untuk menuliskan $- (e^{e} - e)$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{e^{2}}}{2} - (e^{e} - e) \cdot \frac{2}{2} - \frac{e}{2}$

Langkah 3.8.3.5

Gabungkan $- (e^{e} - e)$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{e^{2}}}{2} + \frac{- (e^{e} - e) \cdot 2}{2} - \frac{e}{2}$

Langkah 3.8.3.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{e^{e^{2}} - (e^{e} - e) \cdot 2}{2} - \frac{e}{2}$

Langkah 3.8.3.7

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{e^{e^{2}} - 2 (e^{e} - e)}{2} - \frac{e}{2}$

Langkah 3.9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{e^{e^{2}} - 2 (e^{e} - e) - e}{2}$

Langkah 3.9.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{e^{e^{2}} - 2 e^{e} - 2 (- e) - e}{2}$

Langkah 3.9.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$\frac{e^{e^{2}} - 2 e^{e} + 2 e - e}{2}$

Langkah 3.9.3

Kurangi $e$ dengan $2 e$ .

$\frac{e^{e^{2}} - 2 e^{e} + e}{2}$

Langkah 4