Kalkulus Contoh

$y = 8 x (20 - x)$ ; $[0, 20]$

Langkah 1

Tulis $y = 8 x (20 - x)$ sebagai fungsi.

$f (x) = 8 x (20 - x)$

Langkah 2

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 3

$f (x)$ kontinu di $[0, 20]$ .

$f (x)$ kontinu

Langkah 4

Nilai rerata dari fungsi $f$ di sepanjang interval $[a, b]$ didefinisikan sebagai $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Langkah 5

Substitusikan nilai-nilai aktual ke dalam rumus untuk menghitung nilai rerata dari suatu fungsi.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 8 x (20 - x) d x)$

Langkah 6

Kalikan $8 x (20 - x)$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 8 x \cdot 20 + 8 x (- x) d x)$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $20$ dengan $8$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 160 x + 8 x (- x) d x)$

Langkah 7.2

Kalikan $- 1$ dengan $8$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 160 x - 8 x \cdot x d x)$

Langkah 7.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 160 x - 8 (x \cdot x) d x)$

Langkah 7.4

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 160 x - 8 (x \cdot x) d x)$

Langkah 7.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 160 x - 8 x^{1 + 1} d x)$

Langkah 7.6

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 160 x - 8 x^{2} d x)$

Langkah 8

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 160 x d x + \int_{0}^{20} - 8 x^{2} d x)$

Langkah 9

Karena $160$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $160$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 \int_{0}^{20} x d x + \int_{0}^{20} - 8 x^{2} d x)$

Langkah 10

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{20}) + \int_{0}^{20} - 8 x^{2} d x)$

Langkah 11

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{20}) + \int_{0}^{20} - 8 x^{2} d x)$

Langkah 12

Karena $- 8$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 8$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{20}) - 8 \int_{0}^{20} x^{2} d x)$

Langkah 13

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{20}) - 8 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{20}))$

Langkah 14

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{20}) - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{20}))$

Langkah 14.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Evaluasi $\frac{x^{2}}{2}$ pada $20$ dan pada $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 ((\frac{20^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{20}))$

Langkah 14.2.2

Evaluasi $\frac{x^{3}}{3}$ pada $20$ dan pada $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 14.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.3.1

Naikkan $20$ menjadi pangkat $2$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{400}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 14.2.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $400$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $400$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{2 \cdot 200}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 14.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.3.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{2 \cdot 200}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 14.2.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{2 \cdot 200}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 14.2.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{200}{1} - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 14.2.3.2.2.4

Bagilah $200$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 14.2.3.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 - \frac{0}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 14.2.3.4

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.3.4.1

Faktorkan $2$ dari $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 - \frac{2 (0)}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 14.2.3.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.3.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 14.2.3.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 14.2.3.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 - \frac{0}{1}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 14.2.3.4.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 - 0) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 14.2.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 + 0) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 14.2.3.6

Tambahkan $200$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 \cdot 200 - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 14.2.3.7

Kalikan $160$ dengan $200$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 14.2.3.8

Naikkan $20$ menjadi pangkat $3$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 14.2.3.9

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} - \frac{0}{3}))$

Langkah 14.2.3.10

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.3.10.1

Faktorkan $3$ dari $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

Langkah 14.2.3.10.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.3.10.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Langkah 14.2.3.10.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Langkah 14.2.3.10.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} - \frac{0}{1}))$

Langkah 14.2.3.10.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} - 0))$

Langkah 14.2.3.11

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} + 0))$

Langkah 14.2.3.12

Tambahkan $\frac{8000}{3}$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3}))$

Langkah 14.2.3.13

Gabungkan $- 8$ dan $\frac{8000}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 + \frac{- 8 \cdot 8000}{3})$

Langkah 14.2.3.14

Kalikan $- 8$ dengan $8000$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 + \frac{- 64000}{3})$

Langkah 14.2.3.15

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - \frac{64000}{3})$

Langkah 14.2.3.16

Untuk menuliskan $32000$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 \cdot \frac{3}{3} - \frac{64000}{3})$

Langkah 14.2.3.17

Gabungkan $32000$ dan $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{32000 \cdot 3}{3} - \frac{64000}{3})$

Langkah 14.2.3.18

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{32000 \cdot 3 - 64000}{3})$

Langkah 14.2.3.19

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.3.19.1

Kalikan $32000$ dengan $3$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{96000 - 64000}{3})$

Langkah 14.2.3.19.2

Kurangi $64000$ dengan $96000$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{32000}{3})$

Langkah 15

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 + 0} \cdot \frac{32000}{3}$

Langkah 15.2

Tambahkan $20$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20} \cdot \frac{32000}{3}$

Langkah 16

Batalkan faktor persekutuan dari $20$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Faktorkan $20$ dari $32000$ .

$A (x) = \frac{1}{20} \cdot \frac{20 (1600)}{3}$

Langkah 16.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{20} \cdot \frac{20 \cdot 1600}{3}$

Langkah 16.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1600}{3}$

Langkah 17