Kalkulus Contoh

$f (x) = 3 x^{2} - 2 x$ , $[1, 3]$

Langkah 1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 2

$f (x)$ kontinu di $[1, 3]$ .

$f (x)$ kontinu

Langkah 3

Nilai rerata dari fungsi $f$ di sepanjang interval $[a, b]$ didefinisikan sebagai $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Langkah 4

Substitusikan nilai-nilai aktual ke dalam rumus untuk menghitung nilai rerata dari suatu fungsi.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (\int_{1}^{3} 3 x^{2} - 2 x d x)$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (\int_{1}^{3} 3 x^{2} d x + \int_{1}^{3} - 2 x d x)$

Langkah 6

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (3 \int_{1}^{3} x^{2} d x + \int_{1}^{3} - 2 x d x)$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} - 2 x d x)$

Langkah 8

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} - 2 x d x)$

Langkah 9

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 2$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}) - 2 \int_{1}^{3} x d x)$

Langkah 10

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{3}))$

Langkah 11

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}))$

Langkah 11.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Evaluasi $\frac{x^{3}}{3}$ pada $3$ dan pada $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}))$

Langkah 11.2.2

Evaluasi $\frac{x^{2}}{2}$ pada $3$ dan pada $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (3 (\frac{27}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $27$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.2.1

Faktorkan $3$ dari $27$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (3 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (3 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (3 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (3 (\frac{9}{1} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.2.2.4

Bagilah $9$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (3 (9 - \frac{1^{3}}{3}) - 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (3 (9 - \frac{1}{3}) - 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.4

Untuk menuliskan $9$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (3 (9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}) - 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.5

Gabungkan $9$ dan $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (3 (\frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}) - 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (3 (\frac{9 \cdot 3 - 1}{3}) - 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.7.1

Kalikan $9$ dengan $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (3 (\frac{27 - 1}{3}) - 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.7.2

Kurangi $1$ dengan $27$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (3 (\frac{26}{3}) - 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.8

Gabungkan $3$ dan $\frac{26}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (\frac{3 \cdot 26}{3} - 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.9

Kalikan $3$ dengan $26$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (\frac{78}{3} - 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.10

Hapus faktor persekutuan dari $78$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.10.1

Faktorkan $3$ dari $78$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (\frac{3 \cdot 26}{3} - 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.10.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.10.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (\frac{3 \cdot 26}{3 (1)} - 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.10.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (\frac{3 \cdot 26}{3 \cdot 1} - 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.10.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (\frac{26}{1} - 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.10.2.4

Bagilah $26$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (26 - 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.11

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (26 - 2 (\frac{9}{2} - \frac{1^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.12

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (26 - 2 (\frac{9}{2} - \frac{1}{2}))$

Langkah 11.2.3.13

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (26 - 2 \frac{9 - 1}{2})$

Langkah 11.2.3.14

Kurangi $1$ dengan $9$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (26 - 2 (\frac{8}{2}))$

Langkah 11.2.3.15

Hapus faktor persekutuan dari $8$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.15.1

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (26 - 2 \frac{2 \cdot 4}{2})$

Langkah 11.2.3.15.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.15.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (26 - 2 \frac{2 \cdot 4}{2 (1)})$

Langkah 11.2.3.15.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (26 - 2 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1})$

Langkah 11.2.3.15.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (26 - 2 (\frac{4}{1}))$

Langkah 11.2.3.15.2.4

Bagilah $4$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (26 - 2 \cdot 4)$

Langkah 11.2.3.16

Kalikan $- 2$ dengan $4$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (26 - 8)$

Langkah 11.2.3.17

Kurangi $8$ dengan $26$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (18)$

Langkah 12

Kurangi $1$ dengan $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 18$

Langkah 13

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Faktorkan $2$ dari $18$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 (9))$

Langkah 13.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 9)$

Langkah 13.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = 9$

Langkah 14