Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{5}{x^{2} + 1}$ ; $[- 1, 1]$

Langkah 1

Untuk menentukan rerata nilai fungsi, fungsinya harus kontinu pada interval tertutup $[a, b]$ . Untuk menentukan apakah $f (x)$ kontinu di $[- 1, 1]$ atau tidak, tentukan domain dari $f (x) = \frac{5}{x^{2} + 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Atur penyebut dalam $\frac{5}{x^{2} + 1}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x^{2} + 1 = 0$

Langkah 1.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} = - 1$

Langkah 1.2.2

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Langkah 1.2.3

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \pm i$

Langkah 1.2.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = i$

Langkah 1.2.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - i$

Langkah 1.2.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = i, - i$

Langkah 1.3

Domain adalah semua bilangan riil.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 2

$f (x)$ kontinu di $[- 1, 1]$ .

$f (x)$ kontinu

Langkah 3

Nilai rerata dari fungsi $f$ di sepanjang interval $[a, b]$ didefinisikan sebagai $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Langkah 4

Substitusikan nilai-nilai aktual ke dalam rumus untuk menghitung nilai rerata dari suatu fungsi.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} \frac{5}{x^{2} + 1} d x)$

Langkah 5

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $5$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 \int_{- 1}^{1} \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Langkah 6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Susun kembali $x^{2}$ dan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 \int_{- 1}^{1} \frac{1}{1 + x^{2}} d x)$

Langkah 6.2

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 \int_{- 1}^{1} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x)$

Langkah 7

Integral dari $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ terhadap $x$ adalah $\arctan (x)]_{- 1}^{1}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\arctan (x)]_{- 1}^{1}))$

Langkah 8

Evaluasi $\arctan (x)$ pada $1$ dan pada $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\arctan (1) - \arctan (- 1)))$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Nilai eksak dari $\arctan (1)$ adalah $\frac{π}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{π}{4} - \arctan (- 1)))$

Langkah 9.1.2

Nilai eksak dari $\arctan (- 1)$ adalah $- \frac{π}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{π}{4} + \frac{π}{4}))$

Langkah 9.1.3

Kalikan $- - \frac{π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{π}{4} + 1 (\frac{π}{4})))$

Langkah 9.1.3.2

Kalikan $\frac{π}{4}$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{π}{4} + \frac{π}{4}))$

Langkah 9.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{π + π}{4}))$

Langkah 9.3

Tambahkan $π$ dan $π$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{2 π}{4}))$

Langkah 9.4

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.4.1

Faktorkan $2$ dari $2 π$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{2 (π)}{4}))$

Langkah 9.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{2 π}{2 \cdot 2}))$

Langkah 9.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{2 π}{2 \cdot 2}))$

Langkah 9.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{π}{2}))$

Langkah 9.5

Gabungkan $5$ dan $\frac{π}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{5 π}{2})$

Langkah 10

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{5 π}{2}$

Langkah 11

Kalikan $\frac{1}{2} \cdot \frac{5 π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{5 π}{2}$ .

$A (x) = \frac{5 π}{2 \cdot 2}$

Langkah 11.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$A (x) = \frac{5 π}{4}$

Langkah 12