Kalkulus Contoh

$y = 2 e^{- x}$ ; $[0, 5]$

Langkah 1

Tulis $y = 2 e^{- x}$ sebagai fungsi.

$f (x) = 2 e^{- x}$

Langkah 2

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 3

$f (x)$ kontinu di $[0, 5]$ .

$f (x)$ kontinu

Langkah 4

Nilai rerata dari fungsi $f$ di sepanjang interval $[a, b]$ didefinisikan sebagai $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Langkah 5

Substitusikan nilai-nilai aktual ke dalam rumus untuk menghitung nilai rerata dari suatu fungsi.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} 2 e^{- x} d x)$

Langkah 6

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (2 \int_{0}^{5} e^{- x} d x)$

Langkah 7

Biarkan $u = - x$ . Kemudian $d u = - d x$ sehingga $- d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Biarkan $u = - x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Diferensialkan $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 7.1.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 7.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Langkah 7.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 7.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Langkah 7.3

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 7.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = - x$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 5$

Langkah 7.5

Kalikan $- 1$ dengan $5$ .

$u_{upper} = - 5$

Langkah 7.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 5$

Langkah 7.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (2 \int_{0}^{- 5} - e^{u} d u)$

Langkah 8

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (2 (- \int_{0}^{- 5} e^{u} d u))$

Langkah 9

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- 2 \int_{0}^{- 5} e^{u} d u)$

Langkah 10

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- 2 (e^{u}]_{0}^{- 5}))$

Langkah 11

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Evaluasi $e^{u}$ pada $- 5$ dan pada $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- 2 ((e^{- 5}) - e^{0}))$

Langkah 11.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- 2 (e^{- 5} - 1 \cdot 1))$

Langkah 11.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- 2 (e^{- 5} - 1))$

Langkah 12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- 2 (\frac{1}{e^{5}} - 1))$

Langkah 12.2

Terapkan sifat distributif.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- 2 \frac{1}{e^{5}} - 2 \cdot - 1)$

Langkah 12.3

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{e^{5}}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{- 2}{e^{5}} - 2 \cdot - 1)$

Langkah 12.4

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{- 2}{e^{5}} + 2)$

Langkah 12.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- \frac{2}{e^{5}} + 2)$

Langkah 13

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 0} \cdot (- \frac{2}{e^{5}} + 2)$

Langkah 13.2

Tambahkan $5$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{2}{e^{5}} + 2)$

Langkah 14

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Terapkan sifat distributif.

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{2}{e^{5}}) + \frac{1}{5} \cdot 2$

Langkah 14.2

Kalikan $\frac{1}{5}$ dengan $\frac{2}{e^{5}}$ .

$A (x) = - \frac{2}{5 e^{5}} + \frac{1}{5} \cdot 2$

Langkah 14.3

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $2$ .

$A (x) = - \frac{2}{5 e^{5}} + \frac{2}{5}$

Langkah 15