Kalkulus Contoh

$f (x) = x (x - 1)$ ; $[3, 8]$

Langkah 1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 2

$f (x)$ kontinu di $[3, 8]$ .

$f (x)$ kontinu

Langkah 3

Nilai rerata dari fungsi $f$ di sepanjang interval $[a, b]$ didefinisikan sebagai $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Langkah 4

Substitusikan nilai-nilai aktual ke dalam rumus untuk menghitung nilai rerata dari suatu fungsi.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\int_{3}^{8} x (x - 1) d x)$

Langkah 5

Kalikan $x (x - 1)$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\int_{3}^{8} x \cdot x + x \cdot - 1 d x)$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\int_{3}^{8} x^{1 + 1} + x \cdot - 1 d x)$

Langkah 6.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\int_{3}^{8} x^{2} + x \cdot - 1 d x)$

Langkah 6.3

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\int_{3}^{8} x^{2} - 1 \cdot x d x)$

Langkah 6.4

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\int_{3}^{8} x^{2} - x d x)$

Langkah 7

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\int_{3}^{8} x^{2} d x + \int_{3}^{8} - x d x)$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{1}{3} x^{3}]_{3}^{8} + \int_{3}^{8} - x d x)$

Langkah 9

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{1}{3} x^{3}]_{3}^{8} - \int_{3}^{8} x d x)$

Langkah 10

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{1}{3} x^{3}]_{3}^{8} - (\frac{1}{2} x^{2}]_{3}^{8}))$

Langkah 11

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{1}{3} x^{3}]_{3}^{8} - (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{8}))$

Langkah 11.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Evaluasi $\frac{1}{3} x^{3}$ pada $8$ dan pada $3$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} ((\frac{1}{3} \cdot 8^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{8}))$

Langkah 11.2.2

Evaluasi $\frac{x^{2}}{2}$ pada $8$ dan pada $3$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{1}{3} \cdot 8^{3} - \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.1

Naikkan $8$ menjadi pangkat $3$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{1}{3} \cdot 512 - \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $512$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512}{3} - \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.3

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512}{3} - \frac{1}{3} \cdot 27 - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.4

Kalikan $27$ dengan $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512}{3} - 27 (\frac{1}{3}) - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.5

Gabungkan $- 27$ dan $\frac{1}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512}{3} + \frac{- 27}{3} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.6

Hapus faktor persekutuan dari $- 27$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.6.1

Faktorkan $3$ dari $- 27$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512}{3} + \frac{3 \cdot - 9}{3} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.6.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512}{3} + \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512}{3} + \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512}{3} + \frac{- 9}{1} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.6.2.4

Bagilah $- 9$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512}{3} - 9 - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.7

Untuk menuliskan $- 9$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512}{3} - 9 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.8

Gabungkan $- 9$ dan $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512}{3} + \frac{- 9 \cdot 3}{3} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512 - 9 \cdot 3}{3} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.10

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.10.1

Kalikan $- 9$ dengan $3$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512 - 27}{3} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.10.2

Kurangi $27$ dengan $512$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.11

Naikkan $8$ menjadi pangkat $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - (\frac{64}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.12

Hapus faktor persekutuan dari $64$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.12.1

Faktorkan $2$ dari $64$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - (\frac{2 \cdot 32}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.12.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.12.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - (\frac{2 \cdot 32}{2 (1)} - \frac{3^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.12.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 1} - \frac{3^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.12.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - (\frac{32}{1} - \frac{3^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.12.2.4

Bagilah $32$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - (32 - \frac{3^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.13

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - (32 - \frac{9}{2}))$

Langkah 11.2.3.14

Untuk menuliskan $32$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - (32 \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{2}))$

Langkah 11.2.3.15

Gabungkan $32$ dan $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - (\frac{32 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2}))$

Langkah 11.2.3.16

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - \frac{32 \cdot 2 - 9}{2})$

Langkah 11.2.3.17

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.17.1

Kalikan $32$ dengan $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - \frac{64 - 9}{2})$

Langkah 11.2.3.17.2

Kurangi $9$ dengan $64$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - \frac{55}{2})$

Langkah 11.2.3.18

Untuk menuliskan $\frac{485}{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{55}{2})$

Langkah 11.2.3.19

Untuk menuliskan $- \frac{55}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{55}{2} \cdot \frac{3}{3})$

Langkah 11.2.3.20

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $6$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.20.1

Kalikan $\frac{485}{3}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{55}{2} \cdot \frac{3}{3})$

Langkah 11.2.3.20.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485 \cdot 2}{6} - \frac{55}{2} \cdot \frac{3}{3})$

Langkah 11.2.3.20.3

Kalikan $\frac{55}{2}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485 \cdot 2}{6} - \frac{55 \cdot 3}{2 \cdot 3})$

Langkah 11.2.3.20.4

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485 \cdot 2}{6} - \frac{55 \cdot 3}{6})$

Langkah 11.2.3.21

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485 \cdot 2 - 55 \cdot 3}{6})$

Langkah 11.2.3.22

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.22.1

Kalikan $485$ dengan $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{970 - 55 \cdot 3}{6})$

Langkah 11.2.3.22.2

Kalikan $- 55$ dengan $3$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{970 - 165}{6})$

Langkah 11.2.3.22.3

Kurangi $165$ dengan $970$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{805}{6})$

Langkah 12

Kurangi $3$ dengan $8$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{805}{6}$

Langkah 13

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Faktorkan $5$ dari $805$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{5 (161)}{6}$

Langkah 13.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{5 \cdot 161}{6}$

Langkah 13.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{161}{6}$

Langkah 14