Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 3}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = x^{2} + 3$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.2

Kalikan $x^{2} + 3$ dengan $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 3$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - x (2 x + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.5

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.6.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - x (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.6.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.4

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.6

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.7

Kurangi $2 x^{2}$ dengan $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.8.1

Faktorkan $- 1$ dari $- x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- (x^{2}) + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.8.2

Tulis kembali $3$ sebagai $- 1 (- 3)$ .

$f' (x) = \frac{- (x^{2}) - 1 \cdot - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.8.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (x^{2}) - 1 (- 3)$ .

$f' (x) = \frac{- (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.8.4

Tulis kembali $- (x^{2} - 3)$ sebagai $- 1 (x^{2} - 3)$ .

$f' (x) = \frac{- 1 (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.8.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (x) = - \frac{x^{2} - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{x^{2} - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$- \frac{x^{2} - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- \frac{x^{2} - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- \frac{x^{2} - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$

Langkah 2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$x^{2} - 3 = 0$

Langkah 2.3

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$x^{2} = 3$

Langkah 2.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Langkah 2.3.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = \sqrt{3}$

Langkah 2.3.3.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - \sqrt{3}$

Langkah 2.3.3.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Langkah 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $\sqrt{3}, - \sqrt{3}$ .

$\sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Langkah 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, - \sqrt{3}) \cup (- \sqrt{3}, \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - \sqrt{3})$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2.7320508$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 2.7320508) = - \frac{{(- 2.7320508)}^{2} - 3}{{({(- 2.7320508)}^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Naikkan $- 2.7320508$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 2.7320508) = - \frac{7.46410157 - 3}{{({(- 2.7320508)}^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 5.2.1.2

Kurangi $3$ dengan $7.46410157$ .

$f' (- 2.7320508) = - \frac{4.46410157}{{({(- 2.7320508)}^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Naikkan $- 2.7320508$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 2.7320508) = - \frac{4.46410157}{{(7.46410157 + 3)}^{2}}$

Langkah 5.2.2.2

Tambahkan $7.46410157$ dan $3$ .

$f' (- 2.7320508) = - \frac{4.46410157}{{10.46410157}^{2}}$

Langkah 5.2.2.3

Naikkan $10.46410157$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 2.7320508) = - \frac{4.46410157}{109.49742174}$

Langkah 5.2.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Bagilah $4.46410157$ dengan $109.49742174$ .

$f' (- 2.7320508) = - 1 \cdot 0.04076901$

Langkah 5.2.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $0.04076901$ .

$f' (- 2.7320508) = - 0.04076901$

Langkah 5.2.4

Jawaban akhirnya adalah $- 0.04076901$ .

$- 0.04076901$

Langkah 5.3

Pada $x = - 2.7320508$ , turunannya adalah $- 0.04076901$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, - \sqrt{3})$ .

Menurun pada $(- \infty, - \sqrt{3})$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- 1.7320508, \sqrt{3})$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f' (0) = - \frac{{(0)}^{2} - 3}{{({(0)}^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f' (0) = - \frac{0 - 3}{{(0^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 6.2.1.2

Kurangi $3$ dengan $0$ .

$f' (0) = - \frac{- 3}{{(0^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f' (0) = - \frac{- 3}{{(0 + 3)}^{2}}$

Langkah 6.2.2.2

Tambahkan $0$ dan $3$ .

$f' (0) = - \frac{- 3}{3^{2}}$

Langkah 6.2.2.3

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (0) = - \frac{- 3}{9}$

Langkah 6.2.3

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 3$ dan $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1.1

Faktorkan $3$ dari $- 3$ .

$f' (0) = - \frac{3 (- 1)}{9}$

Langkah 6.2.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1.2.1

Faktorkan $3$ dari $9$ .

$f' (0) = - \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3}$

Langkah 6.2.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (0) = - \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3}$

Langkah 6.2.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (0) = - \frac{- 1}{3}$

Langkah 6.2.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (0) = \frac{1}{3}$

Langkah 6.2.4

Jawaban akhirnya adalah $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3}$

Langkah 6.3

Pada $x = 0$ , turunannya adalah $\frac{1}{3}$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- 1.7320508, \sqrt{3})$ .

Meningkat pada $(- \sqrt{3}, \sqrt{3})$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(\sqrt{3}, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $2.7320508$ pada pernyataan tersebut.

$f' (2.7320508) = - \frac{{(2.7320508)}^{2} - 3}{{({(2.7320508)}^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Naikkan $2.7320508$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (2.7320508) = - \frac{7.46410157 - 3}{{({2.7320508}^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 7.2.1.2

Kurangi $3$ dengan $7.46410157$ .

$f' (2.7320508) = - \frac{4.46410157}{{({2.7320508}^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Naikkan $2.7320508$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (2.7320508) = - \frac{4.46410157}{{(7.46410157 + 3)}^{2}}$

Langkah 7.2.2.2

Tambahkan $7.46410157$ dan $3$ .

$f' (2.7320508) = - \frac{4.46410157}{{10.46410157}^{2}}$

Langkah 7.2.2.3

Naikkan $10.46410157$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (2.7320508) = - \frac{4.46410157}{109.49742174}$

Langkah 7.2.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1

Bagilah $4.46410157$ dengan $109.49742174$ .

$f' (2.7320508) = - 1 \cdot 0.04076901$

Langkah 7.2.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $0.04076901$ .

$f' (2.7320508) = - 0.04076901$

Langkah 7.2.4

Jawaban akhirnya adalah $- 0.04076901$ .

$- 0.04076901$

Langkah 7.3

Pada $x = 2.7320508$ , turunannya adalah $- 0.04076901$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(\sqrt{3}, \infty)$ .

Menurun pada $(\sqrt{3}, \infty)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 8

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- \sqrt{3}, \sqrt{3})$

Menurun pada: $(- \infty, - \sqrt{3}), (\sqrt{3}, \infty)$

Langkah 9