Kalkulus Contoh

$f (x) = 3 \cos^{2} (x) - 6 \sin (x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 \cos^{2} (x) - 6 \sin (x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 \cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 6 \sin (x))$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 \cos^{2} (x)$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 6 \sin (x))$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\cos (x)$ .

$f' (x) = 3 (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 6 \sin (x))$

Langkah 1.1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = 3 (2 u \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 6 \sin (x))$

Langkah 1.1.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\cos (x)$ .

$f' (x) = 3 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 6 \sin (x))$

Langkah 1.1.2.3

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$f' (x) = 3 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 6 \sin (x))$

Langkah 1.1.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f' (x) = 3 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 6 \sin (x))$

Langkah 1.1.2.5

Kalikan $- 2$ dengan $3$ .

$f' (x) = - 6 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} (- 6 \sin (x))$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $- 6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 6 \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $- 6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f' (x) = - 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \frac{d}{d x} \sin (x)$

Langkah 1.1.3.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$f' (x) = - 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x) = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x) = 0$

Langkah 2.2

Faktorkan $- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan $6 \cos (x)$ dari $- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Faktorkan $6 \cos (x)$ dari $- 6 \cos (x) \sin (x)$ .

$6 \cos (x) (- 1 \sin (x)) - 6 \cos (x) = 0$

Langkah 2.2.1.2

Faktorkan $6 \cos (x)$ dari $- 6 \cos (x)$ .

$6 \cos (x) (- 1 \sin (x)) + 6 \cos (x) \cdot - 1 = 0$

Langkah 2.2.1.3

Faktorkan $6 \cos (x)$ dari $6 \cos (x) (- 1 \sin (x)) + 6 \cos (x) \cdot - 1$ .

$6 \cos (x) (- 1 \sin (x) - 1) = 0$

Langkah 2.2.2

Tulis kembali $- 1 \sin (x)$ sebagai $- \sin (x)$ .

$6 \cos (x) (- \sin (x) - 1) = 0$

Langkah 2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$\cos (x) = 0$

$- \sin (x) - 1 = 0$

Langkah 2.4

Atur $\cos (x)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Atur $\cos (x)$ sama dengan $0$ .

$\cos (x) = 0$

Langkah 2.4.2

Selesaikan $\cos (x) = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (0)$

Langkah 2.4.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.1

Nilai eksak dari $\arccos (0)$ adalah $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Langkah 2.4.2.3

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Langkah 2.4.2.4

Sederhanakan $2 π - \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.4.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 2.4.2.4.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.4.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 2.4.2.4.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 2.4.2.4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.4.3.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Langkah 2.4.2.4.3.2

Kurangi $π$ dengan $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Langkah 2.4.2.5

Tentukan periode dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 2.4.2.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 2.4.2.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 2.4.2.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 2.4.2.6

Periode dari fungsi $\cos (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 2.5

Atur $- \sin (x) - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Atur $- \sin (x) - 1$ sama dengan $0$ .

$- \sin (x) - 1 = 0$

Langkah 2.5.2

Selesaikan $- \sin (x) - 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$- \sin (x) = 1$

Langkah 2.5.2.2

Bagi setiap suku pada $- \sin (x) = 1$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- \sin (x) = 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Langkah 2.5.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Langkah 2.5.2.2.2.2

Bagilah $\sin (x)$ dengan $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{- 1}$

Langkah 2.5.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.3.1

Bagilah $1$ dengan $- 1$ .

$\sin (x) = - 1$

Langkah 2.5.2.3

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (- 1)$

Langkah 2.5.2.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.4.1

Nilai eksak dari $\arcsin (- 1)$ adalah $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Langkah 2.5.2.5

Fungsi sinus negatif pada kuadran ketiga dan keempat. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi penyelesaian dari $2 π$ , untuk mencari sudut acuan. Selanjutnya, tambahkan sudut acuan ini ke $π$ untuk mencari penyelesaian pada kuadran ketiga.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Langkah 2.5.2.6

Sederhanakan pernyataan untuk menentukan penyelesaian yang kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.6.1

Kurangi $2 π$ dengan $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Langkah 2.5.2.6.2

Sudut yang dihasilkan dari $\frac{3 π}{2}$ positif, lebih kecil dari $2 π$ , dan koterminal dengan $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Langkah 2.5.2.7

Tentukan periode dari $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.7.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 2.5.2.7.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 2.5.2.7.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 2.5.2.7.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 2.5.2.8

Tambahkan $2 π$ ke setiap sudut negatif untuk memperoleh sudut positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.8.1

Tambahkan $2 π$ ke $- \frac{π}{2}$ untuk menentukan sudut positif.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Langkah 2.5.2.8.2

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 2.5.2.8.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.8.3.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 2.5.2.8.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 2.5.2.8.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.8.4.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Langkah 2.5.2.8.4.2

Kurangi $π$ dengan $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Langkah 2.5.2.8.5

Sebutkan sudut-sudut barunya.

$x = \frac{3 π}{2}$

Langkah 2.5.2.9

Periode dari fungsi $\sin (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $6 \cos (x) (- \sin (x) - 1) = 0$ benar.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 2.7

Gabungkan jawabannya.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $\frac{π}{2} + π n$ .

$\frac{π}{2} + π n$

Langkah 4

Setelah mencari titik yang membuat turunan $f' (x) = - 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$ sama dengan $0$ atau tidak terdefinisi, interval untuk memeriksa di mana $f (x) = 3 \cos^{2} (x) - 6 \sin (x)$ meningkat dan di mana menurun yaitu $(- \infty, \frac{π}{2} + π n) \cup (\frac{π}{2} + π n, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{π}{2} + π n) \cup (\frac{π}{2} + π n, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{π}{2} + π n - 1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (\frac{π}{2} + π n - 1) = - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1) \sin (\frac{π}{2} + π n - 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

Langkah 5.2

Jawaban akhirnya adalah $- 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1) \sin (\frac{π}{2} + π n - 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$ .

$- 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1) \sin (\frac{π}{2} + π n - 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

$- 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1) \sin (\frac{π}{2} + π n - 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

Langkah 5.4

Pada $x = \frac{π}{2} + π n - 1$ , turunannya adalah $- 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1) \sin (\frac{π}{2} + π n - 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ .

Menurun pada $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{π}{2} + π n + 1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (\frac{π}{2} + π n + 1) = - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1) \sin (\frac{π}{2} + π n + 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

Langkah 6.2

Jawaban akhirnya adalah $- 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1) \sin (\frac{π}{2} + π n + 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$ .

$- 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1) \sin (\frac{π}{2} + π n + 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

$- 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1) \sin (\frac{π}{2} + π n + 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

Langkah 6.4

Pada $x = \frac{π}{2} + π n + 1$ , turunannya adalah $- 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1) \sin (\frac{π}{2} + π n + 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ .

Menurun pada $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 7

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Menurun pada: $(- \infty, \frac{π}{2} + π n), (\frac{π}{2} + π n, \infty)$

Langkah 8