Kalkulus Contoh

$f (x) = e^{x} - 3 x^{2}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{x} - 3 x^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2})$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$f' (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2})$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 \frac{d}{d x} x^{2}$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 (2 x)$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 3$ .

$f' (x) = e^{x} - 6 x$

Langkah 1.1.4

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = - 6 x + e^{x}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- 6 x + e^{x}$ .

$- 6 x + e^{x}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- 6 x + e^{x} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- 6 x + e^{x} = 0$

Langkah 2.2

Gambarkan setiap sisi persamaan. Penyelesaiannya adalah nilai x dari titik perpotongan.

$x \approx 0.20448144, 2.83314789$

Langkah 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $0.20448144, 2.83314789$ .

$0.20448144, 2.83314789$

Langkah 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, 0.20448144) \cup (0.20448144, 2.83314789) \cup (2.83314789, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, 0.20448144)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 0.79551855$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 0.79551855) = - 6 \cdot - 0.79551855 + e^{- 0.79551855}$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Kalikan $- 6$ dengan $- 0.79551855$ .

$f' (- 0.79551855) = 4.7731113 + e^{- 0.79551855}$

Langkah 5.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 0.79551855) = 4.7731113 + \frac{1}{e^{0.79551855}}$

Langkah 5.2.2

Tambahkan $4.7731113$ dan $\frac{1}{e^{0.79551855}}$ .

$f' (- 0.79551855) = 5.22445842$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $5.22445842$ .

$5.22445842$

Langkah 5.3

Pada $x = - 0.79551855$ , turunannya adalah $5.22445842$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- \infty, 0.20448144)$ .

Meningkat pada $(- \infty, 0.20448144)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(0.20448145, 2.83314789)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $1.51881472$ pada pernyataan tersebut.

$f' (1.51881472) = - 6 \cdot 1.51881472 + e^{1.51881472}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kalikan $- 6$ dengan $1.51881472$ .

$f' (1.51881472) = - 9.11288835 + e^{1.51881472}$

Langkah 6.2.2

Tambahkan $- 9.11288835$ dan $e^{1.51881472}$ .

$f' (1.51881472) = - 4.54607928$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 4.54607928$ .

$- 4.54607928$

Langkah 6.3

Pada $x = 1.51881472$ , turunannya adalah $- 4.54607928$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(0.20448145, 2.83314789)$ .

Menurun pada $(0.20448144, 2.83314789)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(2.83314789, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $3.833148$ pada pernyataan tersebut.

$f' (3.833148) = - 6 \cdot 3.833148 + e^{3.833148}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Kalikan $- 6$ dengan $3.833148$ .

$f' (3.833148) = - 22.998888 + e^{3.833148}$

Langkah 7.2.2

Tambahkan $- 22.998888$ dan $e^{3.833148}$ .

$f' (3.833148) = 23.20888358$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $23.20888358$ .

$23.20888358$

Langkah 7.3

Pada $x = 3.833148$ , turunannya adalah $23.20888358$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(2.83314789, \infty)$ .

Meningkat pada $(2.83314789, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 8

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- \infty, 0.20448144), (2.83314789, \infty)$

Menurun pada: $(0.20448144, 2.83314789)$

Langkah 9