Kalkulus Contoh

$f (x) = x - 4 \sqrt{x}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 4 \sqrt{x}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4 \sqrt{x})$

Langkah 1.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- 4 \sqrt{x})$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Langkah 1.1.2.2

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f' (x) = 1 - 4 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}$

Langkah 1.1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Langkah 1.1.2.4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Langkah 1.1.2.5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 1.1.2.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 1.1.2.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Langkah 1.1.2.7.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Langkah 1.1.2.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Langkah 1.1.2.9

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 1 - 4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 1.1.2.10

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{- 4 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 1.1.2.11

Pindahkan $x^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.1.2.12

Faktorkan $2$ dari $- 4$ .

$f' (x) = 1 + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.1.2.13

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.13.1

Faktorkan $2$ dari $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Langkah 1.1.2.13.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (x) = 1 + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.1.2.13.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (x) = 1 + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.1.2.14

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (x) = 1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Langkah 2.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = - 1$

Langkah 2.3

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$x^{\frac{1}{2}}, 1$

Langkah 2.3.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$x^{\frac{1}{2}}$

Langkah 2.4

Kalikan setiap suku pada $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = - 1$ dengan $x^{\frac{1}{2}}$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = - 1$ dengan $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - x^{\frac{1}{2}}$

Langkah 2.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - x^{\frac{1}{2}}$

Langkah 2.4.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - x^{\frac{1}{2}}$

Langkah 2.4.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 2 = - x^{\frac{1}{2}}$

Langkah 2.5

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- x^{\frac{1}{2}} = - 2$ .

$- x^{\frac{1}{2}} = - 2$

Langkah 2.5.2

Bagi setiap suku pada $- x^{\frac{1}{2}} = - 2$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Bagilah setiap suku di $- x^{\frac{1}{2}} = - 2$ dengan $- 1$ .

$\frac{- x^{\frac{1}{2}}}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Langkah 2.5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Langkah 2.5.2.2.2

Bagilah $x^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{- 2}{- 1}$

Langkah 2.5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.3.1

Bagilah $- 2$ dengan $- 1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 2$

Langkah 2.5.3

Pangkatkan setiap sisi persamaan dengan pangkat $2$ untuk menghilangkan eksponen pecahan di sisi kiri.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 2^{2}$

Langkah 2.5.4

Sederhanakan bentuk eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.1.1

Sederhanakan ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.1.1.1

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.1.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Langkah 2.5.4.1.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.1.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Langkah 2.5.4.1.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{1} = 2^{2}$

Langkah 2.5.4.1.1.2

Sederhanakan.

$x = 2^{2}$

Langkah 2.5.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.2.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$x = 4$

Langkah 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $4$ .

$4$

Langkah 4

Tentukan di mana turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Ubah persamaan dengan eksponen pecahan menjadi akar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Gunakan rumus $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ untuk menulis kembali eksponensiasi ke dalam bentuk akar.

$1 - \frac{2}{\sqrt{x^{1}}}$

Langkah 4.1.2

Apa pun yang dipangkatkan ke $1$ sama dengan bilangan pokok itu sendiri.

$1 - \frac{2}{\sqrt{x}}$

Langkah 4.2

Atur penyebut dalam $\frac{2}{\sqrt{x}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$\sqrt{x} = 0$

Langkah 4.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Untuk menghapus akar pada sisi kiri persamaan, kuadratkan kedua sisi persamaan.

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Langkah 4.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1

Sederhanakan ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Langkah 4.3.2.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Langkah 4.3.2.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{1} = 0^{2}$

Langkah 4.3.2.2.1.2

Sederhanakan.

$x = 0^{2}$

Langkah 4.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$x = 0$

Langkah 4.4

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{x}$ agar lebih kecil dari $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x < 0$

Langkah 4.5

Persamaan tidak terdefinisi di mana penyebutnya sama dengan $0$ , argumen dari akar kuadratnya lebih kecil dari $0$ , atau argumen dari logaritmanya lebih kecil dari atau sama dengan $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, 0)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 1) = 1 - \frac{2}{{(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1.1

Tulis kembali ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ sebagai $\sqrt{{(- 1)}^{1}}$ .

$f' (- 1) = 1 - \frac{2}{\sqrt{- 1}}$

Langkah 6.2.1.1.2

Evaluasi eksponennya.

$f' (- 1) = 1 - \frac{2}{\sqrt{- 1}}$

Langkah 6.2.1.1.3

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$f' (- 1) = 1 - \frac{2}{i}$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan pembilang dan penyebut dari $\frac{2}{i}$ dengan konjugat $i$ untuk membuat penyebutnya riil.

$f' (- 1) = 1 - (\frac{2}{i} \cdot \frac{i}{i})$

Langkah 6.2.1.3

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.3.1

Gabungkan.

$f' (- 1) = 1 - \frac{2 i}{i i}$

Langkah 6.2.1.3.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.3.2.1

Naikkan $i$ menjadi pangkat $1$ .

$f' (- 1) = 1 - \frac{2 i}{i i}$

Langkah 6.2.1.3.2.2

Naikkan $i$ menjadi pangkat $1$ .

$f' (- 1) = 1 - \frac{2 i}{i i}$

Langkah 6.2.1.3.2.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f' (- 1) = 1 - \frac{2 i}{i^{1 + 1}}$

Langkah 6.2.1.3.2.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f' (- 1) = 1 - \frac{2 i}{i^{2}}$

Langkah 6.2.1.3.2.5

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$f' (- 1) = 1 - \frac{2 i}{- 1}$

Langkah 6.2.1.4

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{2 i}{- 1}$ .

$f' (- 1) = 1 - (- 1 \cdot (2 i))$

Langkah 6.2.1.5

Tulis kembali $- 1 \cdot (2 i)$ sebagai $- (2 i)$ .

$f' (- 1) = 1 + 2 i$

Langkah 6.2.1.6

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f' (- 1) = 1 - (- 2 i)$

Langkah 6.2.1.7

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$f' (- 1) = 1 + 2 i$

Langkah 6.2.2

Jawaban akhirnya adalah $1 + 2 i$ .

$1 + 2 i$

Langkah 6.3

Pada $x = - 1$ turunannya adalah $1 + 2 i$ . Karena ini memuat sebuah bilangan imajiner, fungsinya tidak ada pada $(- \infty, 0)$ .

Fungsi tidak riil pada $(- \infty, 0)$ karena $f' (x)$ imajiner

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(0, 4)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (2) = 1 - \frac{2}{{(2)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Pindahkan ${(2)}^{\frac{1}{2}}$ ke pembilang menggunakan aturan eksponen negatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (2) = 1 - (2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}})$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $2^{- \frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.2.1

Kalikan $2$ dengan $2^{- \frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.2.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $1$ .

$f' (2) = 1 - (2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}})$

Langkah 7.2.1.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f' (2) = 1 - 2^{1 - \frac{1}{2}}$

Langkah 7.2.1.2.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$f' (2) = 1 - 2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Langkah 7.2.1.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (2) = 1 - 2^{\frac{2 - 1}{2}}$

Langkah 7.2.1.2.4

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$f' (2) = 1 - 2^{\frac{1}{2}}$

Langkah 7.2.2

Jawaban akhirnya adalah $1 - 2^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - 2^{\frac{1}{2}}$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

$- 0.41421356$

Langkah 7.4

Pada $x = 2$ , turunannya adalah $- 0.41421356$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(0, 4)$ .

Menurun pada $(0, 4)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(4, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $5$ pada pernyataan tersebut.

$f' (5) = 1 - \frac{2}{{(5)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$f' (5) = 1 - \frac{2}{5^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 8.2.2

Jawaban akhirnya adalah $1 - \frac{2}{5^{\frac{1}{2}}}$ .

$1 - \frac{2}{5^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 8.3

Sederhanakan.

$0.1055728$

Langkah 8.4

Pada $x = 5$ , turunannya adalah $0.1055728$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(4, \infty)$ .

Meningkat pada $(4, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 9

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(4, \infty)$

Menurun pada: $(0, 4)$

Langkah 10