Kalkulus Contoh

$y = \frac{e^{2 u}}{e^{u} + e^{- u}}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [\frac{f (u)}{g (u)}]$ adalah $\frac{g (u) \frac{d}{d u} [f (u)] - f (u) \frac{d}{d u} [g (u)]}{{g (u)}^{2}}$ di mana $f (u) = e^{2 u}$ dan $g (u) = e^{u} + e^{- u}$ .

$\frac{(e^{u} + e^{- u}) \frac{d}{d u} [e^{2 u}] - e^{2 u} \frac{d}{d u} [e^{u} + e^{- u}]}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ adalah $f' (g (u)) g' (u)$ di mana $f (u) = e^{u}$ dan $g (u) = 2 u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $2 u$ .

$\frac{(e^{u} + e^{- u}) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d u} [2 u]) - e^{2 u} \frac{d}{d u} [e^{u} + e^{- u}]}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{(e^{u} + e^{- u}) (e^{u_{1}} \frac{d}{d u} [2 u]) - e^{2 u} \frac{d}{d u} [e^{u} + e^{- u}]}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Langkah 2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 u$ .

$\frac{(e^{u} + e^{- u}) (e^{2 u} \frac{d}{d u} [2 u]) - e^{2 u} \frac{d}{d u} [e^{u} + e^{- u}]}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Langkah 3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Karena $2$ konstan terhadap $u$ , turunan dari $2 u$ terhadap $u$ adalah $2 \frac{d}{d u} [u]$ .

$\frac{(e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} (2 \frac{d}{d u} [u]) - e^{2 u} \frac{d}{d u} [e^{u} + e^{- u}]}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} (2 \cdot 1) - e^{2 u} \frac{d}{d u} [e^{u} + e^{- u}]}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Langkah 3.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{(e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} \cdot 2 - e^{2 u} \frac{d}{d u} [e^{u} + e^{- u}]}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Langkah 3.3.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $(e^{u} + e^{- u}) e^{2 u}$ .

$\frac{2 \cdot ((e^{u} + e^{- u}) e^{2 u}) - e^{2 u} \frac{d}{d u} [e^{u} + e^{- u}]}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Langkah 3.4

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{u} + e^{- u}$ terhadap $u$ adalah $\frac{d}{d u} [e^{u}] + \frac{d}{d u} [e^{- u}]$ .

$\frac{2 (e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} - e^{2 u} (\frac{d}{d u} [e^{u}] + \frac{d}{d u} [e^{- u}])}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Langkah 4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{2 (e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} - e^{2 u} (e^{u} + \frac{d}{d u} [e^{- u}])}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Langkah 5

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ adalah $f' (g (u)) g' (u)$ di mana $f (u) = e^{u}$ dan $g (u) = - u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $- u$ .

$\frac{2 (e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} - e^{2 u} (e^{u} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d u} [- u])}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Langkah 5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ adalah $a^{u_{2}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{2 (e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} - e^{2 u} (e^{u} + e^{u_{2}} \frac{d}{d u} [- u])}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Langkah 5.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $- u$ .

$\frac{2 (e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} - e^{2 u} (e^{u} + e^{- u} \frac{d}{d u} [- u])}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Langkah 6

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , turunan dari $- u$ terhadap $u$ adalah $- \frac{d}{d u} [u]$ .

$\frac{2 (e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} - e^{2 u} (e^{u} + e^{- u} (- \frac{d}{d u} [u]))}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Langkah 6.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{2 (e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} - e^{2 u} (e^{u} + e^{- u} (- 1 \cdot 1))}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Langkah 6.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{2 (e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} - e^{2 u} (e^{u} + e^{- u} \cdot - 1)}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Langkah 6.3.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $e^{- u}$ .

$\frac{2 (e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} - e^{2 u} (e^{u} - 1 \cdot e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Langkah 6.3.3

Tulis kembali $- 1 e^{- u}$ sebagai $- e^{- u}$ .

$\frac{2 (e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} - e^{2 u} (e^{u} - e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(2 e^{u} + 2 e^{- u}) e^{2 u} - e^{2 u} (e^{u} - e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Langkah 7.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 e^{u} e^{2 u} + 2 e^{- u} e^{2 u} - e^{2 u} (e^{u} - e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Langkah 7.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 e^{u} e^{2 u} + 2 e^{- u} e^{2 u} - e^{2 u} e^{u} - e^{2 u} (- e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Langkah 7.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1.1

Kalikan $e^{u}$ dengan $e^{2 u}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1.1.1

Pindahkan $e^{2 u}$ .

$\frac{2 (e^{2 u} e^{u}) + 2 e^{- u} e^{2 u} - e^{2 u} e^{u} - e^{2 u} (- e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Langkah 7.4.1.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 e^{2 u + u} + 2 e^{- u} e^{2 u} - e^{2 u} e^{u} - e^{2 u} (- e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Langkah 7.4.1.1.3

Tambahkan $2 u$ dan $u$ .

$\frac{2 e^{3 u} + 2 e^{- u} e^{2 u} - e^{2 u} e^{u} - e^{2 u} (- e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Langkah 7.4.1.2

Kalikan $e^{- u}$ dengan $e^{2 u}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1.2.1

Pindahkan $e^{2 u}$ .

$\frac{2 e^{3 u} + 2 (e^{2 u} e^{- u}) - e^{2 u} e^{u} - e^{2 u} (- e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Langkah 7.4.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 e^{3 u} + 2 e^{2 u - u} - e^{2 u} e^{u} - e^{2 u} (- e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Langkah 7.4.1.2.3

Kurangi $u$ dengan $2 u$ .

$\frac{2 e^{3 u} + 2 e^{u} - e^{2 u} e^{u} - e^{2 u} (- e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Langkah 7.4.1.3

Kalikan $e^{2 u}$ dengan $e^{u}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1.3.1

Pindahkan $e^{u}$ .

$\frac{2 e^{3 u} + 2 e^{u} - (e^{u} e^{2 u}) - e^{2 u} (- e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Langkah 7.4.1.3.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 e^{3 u} + 2 e^{u} - e^{u + 2 u} - e^{2 u} (- e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Langkah 7.4.1.3.3

Tambahkan $u$ dan $2 u$ .

$\frac{2 e^{3 u} + 2 e^{u} - e^{3 u} - e^{2 u} (- e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Langkah 7.4.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{2 e^{3 u} + 2 e^{u} - e^{3 u} - 1 \cdot - 1 e^{2 u} e^{- u}}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Langkah 7.4.1.5

Kalikan $e^{2 u}$ dengan $e^{- u}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1.5.1

Pindahkan $e^{- u}$ .

$\frac{2 e^{3 u} + 2 e^{u} - e^{3 u} - 1 \cdot - 1 (e^{- u} e^{2 u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Langkah 7.4.1.5.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 e^{3 u} + 2 e^{u} - e^{3 u} - 1 \cdot - 1 e^{- u + 2 u}}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Langkah 7.4.1.5.3

Tambahkan $- u$ dan $2 u$ .

$\frac{2 e^{3 u} + 2 e^{u} - e^{3 u} - 1 \cdot - 1 e^{u}}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Langkah 7.4.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{2 e^{3 u} + 2 e^{u} - e^{3 u} + 1 e^{u}}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Langkah 7.4.1.7

Kalikan $e^{u}$ dengan $1$ .

$\frac{2 e^{3 u} + 2 e^{u} - e^{3 u} + e^{u}}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Langkah 7.4.2

Kurangi $e^{3 u}$ dengan $2 e^{3 u}$ .

$\frac{2 e^{u} + e^{3 u} + e^{u}}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Langkah 7.4.3

Tambahkan $2 e^{u}$ dan $e^{u}$ .

$\frac{3 e^{u} + e^{3 u}}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$