Kalkulus Contoh

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 x + 200}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} 5 x + 200}$

Langkah 1.2

Karena eksponen $x$ mendekati $\infty$ , jumlah $e^{x}$ mendekati $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 5 x + 200}$

Langkah 1.3

Limit pada tak hingga dari polinomial yang koefisien pertamanya positif adalah tak hingga.

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 2

Karena $\frac{\infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 x + 200} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [5 x + 200]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [5 x + 200]}$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [5 x + 200]}$

Langkah 3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $5 x + 200$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [200]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [200]}$

Langkah 3.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [200]}$

Langkah 3.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [200]}$

Langkah 3.4.3

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 + \frac{d}{d x} [200]}$

Langkah 3.5

Karena $200$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $200$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 + 0}$

Langkah 3.6

Tambahkan $5$ dan $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5}$

Langkah 4

Karena fungsi $e^{x}$ mendekati $\infty$ , konstanta positif $\frac{1}{5}$ kali fungsi juga mendekati $\infty$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Pertimbangkan batasnya dengan kelipatan tetap $\frac{1}{5}$ dihapus.

$lim_{x \to \infty} e^{x}$

Langkah 4.2

Karena eksponen $x$ mendekati $\infty$ , jumlah $e^{x}$ mendekati $\infty$ .

$\infty$