Kalkulus Contoh

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x - \frac{1}{4 x}}{3 x + \frac{1}{x}}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to \infty} 6 x - \frac{1}{4 x}}{lim_{x \to \infty} 3 x + \frac{1}{x}}$

Langkah 1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 6 x - lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x}}{lim_{x \to \infty} 3 x + \frac{1}{x}}$

Langkah 1.2.1.2

Limit pada tak hingga dari polinomial yang koefisien pertamanya positif adalah tak hingga.

$\frac{\infty - lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x}}{lim_{x \to \infty} 3 x + \frac{1}{x}}$

Langkah 1.2.1.3

Pindahkan suku $\frac{1}{4}$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{\infty - \frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 3 x + \frac{1}{x}}$

Langkah 1.2.2

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x}$ mendekati $0$ .

$\frac{\infty - \frac{1}{4} \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 3 x + \frac{1}{x}}$

Langkah 1.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Kalikan $- \frac{1}{4} \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$\frac{\infty + 0 (\frac{1}{4})}{lim_{x \to \infty} 3 x + \frac{1}{x}}$

Langkah 1.2.3.1.2

Kalikan $0$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\infty + 0}{lim_{x \to \infty} 3 x + \frac{1}{x}}$

Langkah 1.2.3.2

Tambahkan $\infty$ dan $0$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 x + \frac{1}{x}}$

Langkah 1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 x + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Langkah 1.3.1.2

Limit pada tak hingga dari polinomial yang koefisien pertamanya positif adalah tak hingga.

$\frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Langkah 1.3.2

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x}$ mendekati $0$ .

$\frac{\infty}{\infty + 0}$

Langkah 1.3.3

Tambahkan $\infty$ dan $0$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 1.3.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 2

Karena $\frac{\infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x - \frac{1}{4 x}}{3 x + \frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 x - \frac{1}{4 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 x - \frac{1}{4 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

Langkah 3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $6 x - \frac{1}{4 x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 x$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

Langkah 3.3.3

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

Langkah 3.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Karena $- \frac{1}{4}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{1}{4 x}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 - \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

Langkah 3.4.2

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 - \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

Langkah 3.4.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 - \frac{1}{4} (- x^{- 2})}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

Langkah 3.4.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 + 1 (\frac{1}{4}) x^{- 2}}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

Langkah 3.4.5

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{1}{4} x^{- 2}}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

Langkah 3.4.6

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $x^{- 2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{x^{- 2}}{4}}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

Langkah 3.4.7

Pindahkan $x^{- 2}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{1}{4 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

Langkah 3.5

Susun kembali suku-suku.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{4 x^{2}} + 6}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

Langkah 3.6

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x + \frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{4 x^{2}} + 6}{\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Langkah 3.7

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{4 x^{2}} + 6}{3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Langkah 3.7.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{4 x^{2}} + 6}{3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Langkah 3.7.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{4 x^{2}} + 6}{3 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Langkah 3.8

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{4 x^{2}} + 6}{3 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

Langkah 3.8.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{4 x^{2}} + 6}{3 - x^{- 2}}$

Langkah 3.9

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{4 x^{2}} + 6}{3 - \frac{1}{x^{2}}}$

Langkah 3.10

Susun kembali suku-suku.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{4 x^{2}} + 6}{- \frac{1}{x^{2}} + 3}$

Langkah 4

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Untuk menuliskan $6$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4 x^{2}}{4 x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{4 x^{2}} + 6 \cdot \frac{4 x^{2}}{4 x^{2}}}{- \frac{1}{x^{2}} + 3}$

Langkah 4.2

Gabungkan $6$ dan $\frac{4 x^{2}}{4 x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{4 x^{2}} + \frac{6 (4 x^{2})}{4 x^{2}}}{- \frac{1}{x^{2}} + 3}$

Langkah 4.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1 + 6 (4 x^{2})}{4 x^{2}}}{- \frac{1}{x^{2}} + 3}$

Langkah 4.4

Untuk menuliskan $3$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1 + 6 (4 x^{2})}{4 x^{2}}}{- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3 x^{2}}{x^{2}}}$

Langkah 4.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1 + 6 (4 x^{2})}{4 x^{2}}}{\frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

Langkah 5

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1 + 6 (4 x^{2})}{4 x^{2}}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

Langkah 5.2

Pindahkan suku $\frac{1}{4}$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1 + 6 (4 x^{2})}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

Langkah 5.3

Kalikan $4$ dengan $6$ .

$\frac{\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1 + 24 x^{2}}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

Langkah 6

Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan pangkat tertinggi dari $x$ dalam penyebut, yaitu $x^{2}$ .

$\frac{\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{2}} + \frac{24 x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

Langkah 7

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{2}} + \frac{24 x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

Langkah 7.1.2

Bagilah $24$ dengan $1$ .

$\frac{\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{2}} + 24}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

Langkah 7.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{2}} + 24}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

Langkah 7.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{2}} + 24}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

Langkah 7.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + 24}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

Langkah 7.4

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 24}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

Langkah 8

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x^{2}}$ mendekati $0$ .

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + lim_{x \to \infty} 24}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

Langkah 9

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Evaluasi limit dari $24$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 24}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

Langkah 9.2

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 24}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

Langkah 10

Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan pangkat tertinggi dari $x$ dalam penyebut, yaitu $x^{2}$ .

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 24}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3 x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}$

Langkah 11

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 24}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3 x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}$

Langkah 11.1.2

Bagilah $3$ dengan $1$ .

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 24}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} + 3}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}$

Langkah 11.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 24}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} + 3}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}$

Langkah 11.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 24}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} + 3}{1}}$

Langkah 11.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 24}{1}}{\frac{lim_{x \to \infty} - \frac{1}{x^{2}} + 3}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Langkah 11.4

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 24}{1}}{\frac{- lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 3}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Langkah 12

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x^{2}}$ mendekati $0$ .

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 24}{1}}{\frac{- 0 + lim_{x \to \infty} 3}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Langkah 13

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Evaluasi limit dari $3$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 24}{1}}{\frac{0 + 3}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Langkah 13.2

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 24}{1}}{\frac{0 + 3}{1}}$

Langkah 13.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.3.1

Bagilah $0 + 24$ dengan $1$ .

$\frac{\frac{1}{4} (0 + 24)}{\frac{0 + 3}{1}}$

Langkah 13.3.2

Bagilah $0 + 3$ dengan $1$ .

$\frac{\frac{1}{4} (0 + 24)}{0 + 3}$

Langkah 13.3.3

Hapus faktor persekutuan dari $0 + 24$ dan $0 + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.3.3.1

Faktorkan $3$ dari $\frac{1}{4} (0 + 24)$ .

$\frac{3 (\frac{1}{4} (0 + 8))}{0 + 3}$

Langkah 13.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.3.3.2.1

Faktorkan $3$ dari $0$ .

$\frac{3 (\frac{1}{4} (0 + 8))}{3 (0) + 3}$

Langkah 13.3.3.2.2

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{3 (\frac{1}{4} (0 + 8))}{3 \cdot 0 + 3 \cdot 1}$

Langkah 13.3.3.2.3

Faktorkan $3$ dari $3 \cdot 0 + 3 \cdot 1$ .

$\frac{3 (\frac{1}{4} (0 + 8))}{3 \cdot (0 + 1)}$

Langkah 13.3.3.2.4

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 (\frac{1}{4} (0 + 8))}{3 \cdot (0 + 1)}$

Langkah 13.3.3.2.5

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{1}{4} (0 + 8)}{0 + 1}$

Langkah 13.3.4

Tambahkan $0$ dan $8$ .

$\frac{\frac{1}{4} \cdot 8}{0 + 1}$

Langkah 13.3.5

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$\frac{\frac{1}{4} \cdot 8}{1}$

Langkah 13.3.6

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $8$ .

$\frac{\frac{8}{4}}{1}$

Langkah 13.3.7

Bagilah $8$ dengan $4$ .

$\frac{2}{1}$

Langkah 13.3.8

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$2$